第一节函数

Table of Contents

I. 函数的概念

1.1 函数的定义

设 $x$ 和 $y$ 是两个变量， $D$ 是一个给定的数集，如果对于给定的 $x \in D$ ，变量 $y$ 按照法则 $f$ 总有唯一确定的值与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$ ，数集 $D$ 叫做这个函数的定义域， $x$ 叫做自变量， $y$ 叫做因变量， $R_f = \{ y | y = f(x), x \in D \}$ 叫做函数的值域

Tip

函数的两要素：定义域、对应法则

例1：已知 $f(e^x) = xe^{-x}$ ，则 $f(x)$ 等于_____.
Answer
设 $u = e^x$ ，则有：
$x = \ln u 且 e^{- x} = \frac{1}{u}$
所以：
$x e^{- x} = \frac{\ln x}{u}$
将 $u$ 用 $x$ 表示可得：
$f (x) = \frac{\ln x}{x}$
例2：设 $f(x^2 - 1) = \ln \dfrac{x^2}{x^2 - 2}$ ，且 $f[\varphi(x)] = \ln x$ ，求 $\varphi(x)$ .
Answer
设 $u = x^2 - 1$ ，则有：
$x^{2} = u + 1 且 x^{2} - 2 = u - 1$
所以：
$f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1}$
又因为 $f[\varphi(x)] = \ln x$ ，则：
$\ln \frac{φ (x) + 1}{φ (x) - 1} = \ln x$
解得：
$φ (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
例3：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ ，且满足 $2f(x) + x^2f(\frac{1}{x}) = \dfrac{x^2 + 2x}{\sqrt{1 + x^2}}$ ，求 $f(x)$ .
Answer
设 $u = \frac{1}{x}$ ，则原方程变为：
$2 f (\frac{1}{u}) + \frac{f (u)}{u^{2}} = \frac{\frac{1}{u^{2}} + \frac{2}{u}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u^{2}}}}$
整理可得：
$4 u^{2} f (\frac{1}{u}) + 2 f (u) = \frac{2 u (1 + 2 u)}{\sqrt{u^{2} + 1}}$
将 $u$ 用 $x$ 表示后，得到式一：
$4 x^{2} f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{2 x (1 + 2 x)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
式二：
$2 f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
将式一减式二可得：
$4 x^{2} f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) - 2 f (x) - x^{2} f (\frac{1}{x}) = \frac{2 x (1 + 2 x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
整理可得：
$f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
最终可解得 $f(x)$ 为：
$f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

1.2 反函数的定义

设 $y = f(x)$ 的定义域为 $D_f$ ，值域为 $V_f$ ，对于 $\forall y \in v_f$ ，在 $D_f$ 上可以确定一个 $x$ ，满足 $y = f(x)$ ，如果把 $y$ 看作自变量、 $x$ 看作因变量，可得新的函数： $x = f^{-1}(y)$ ，则称 $x = f^{-1}(y)$ 为 $y = f(x)$ 的反函数，把函数 $y = f(x)$ 成为直接函数

Tip

只有一一对应的函数才有反函数，所以单调函数一定存在反函数
直接函数与反函数的图像关于 $y = x$ 直线对称
一个函数与其反函数组合成的复合函数，等同于 $f(x) = x$ ，即 $f \circ f^{-1} (x) = f^{-1} \circ f (x) = x$

例4：已知 $y = \sin x$ ，则其反函数为_____.
Answer
$y = \sin x$ 的反函数为：
$y = \arcsin x$
其定义域为：
$x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

II. 函数的基本特性

2.1 有界性

上界： $\exists k_1$ 使 $\forall x \in D$ 有 $f(x) \leq k_1$

下界： $\exists k_2$ 使 $\forall x \in D$ 有 $f(x) \geq k_1$

有界： $\exists M \gt 0$ 使 $\forall x \in D$ 有 $|f(x)| \leq M$

无界： $\forall M \gt 0$ 使 $\exists x_0 \in D$ 有 $|f(x_0)| \lt M$

Tip

$f(x)$ 在 $D$ 上有界 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $D$ 上既有上界、又有下界，否则称 $f(x)$ 在 $D$ 上无界

2.2 单调性

对于区间 $I \subset D$ 内任意两点 $x_1 \lt x_2$ ，始终存在 $f(x_1) \lt f(x_2)$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递增的，反之则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递减的

Tip

设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ ，则：

{\begin{cases} f ↑ (↓), g ↑ (↓), f > 0 (f < 0), g > 0 (g < 0) \Rightarrow f \cdot g ↑ \\ f ↑ (↓), g ↑ (↓), f < 0 (f > 0), g < 0 (g > 0) \Rightarrow f \cdot g ↓ \\ f ↑ (↓), g ↑ (↓) \Rightarrow f \circ g ↑ \\ f ↑ (↓), g ↓ (↑) \Rightarrow f \circ g ↓ \end{cases}

2.3 奇偶性

若函数 $f(x)$ 在关于原点对称的区间 $I$ 上满足 $f(-x) = f(x)$ （或 $f(-x) = -f(x)$ ），则称之为偶函数（或奇函数）

Tip

偶函数的图像关于 $y$ 轴对称；奇函数的图像关于原点对称，且此函数若在 $x = 0$ 有定义则其函数值必为 $0$
奇函数 $\pm$ 奇函数 = 奇函数；偶函数 $\pm$ 偶函数 = 偶函数
奇函数 $\times (\div)$ 奇函数 = 偶函数；偶函数 $\times (\div)$ 偶函数 = 偶函数；奇函数 $\times (\div)$ 偶函数 = 奇函数

例5：判定函数 $f(x) = \ln (x + \sqrt{x^2 +1})$ 的奇偶性，并求其反函数。
Answer
计算 $f(-x) + f(x)$ ：
$\ln (- x + \sqrt{x^{2} + 1}) + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ $= \ln [(\sqrt{x^{2} + 1} + x) \cdot (\sqrt{x^{2} + 1} - x)]$ $= \ln (x^{2} + 1 - x^{2}) = \ln 1 = 0$
由此可证 $f(-x) = -f(x)$ ，所以函数 $f(x)$ 为奇函数

设 $y = f(x)$ ，则求 $x = f^{-1}(y)$ ：
$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ $e^{2 y} + x^{2} - 2 x e^{y} = x^{2} + 1$ $2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ $x = \frac{1 - e^{2 y}}{2 e^{y}} = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$
故函数 $f(x)$ 的反函数为 $y = \frac{1}{2} (e^x - e^{-x})$
例6：判定函数 $f(x) = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$ 的奇偶性。
Answer
计算 $f(-x) + f(x)$ ：
$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ $= \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{1 - \frac{1}{e^{x}}}{1 + \frac{1}{e^{x}}}$ $= \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{e^{x} - 1}{e^{x}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ $= \frac{1 - e^{x} + e^{x} - 1}{e^{x} + 1} = 0$
由此可证 $f(-x) = -f(x)$ ，所以函数 $f(x)$ 为奇函数

2.4 周期性

对于函数 $y = f(x)$ ，如果存在一个非零常数 $T$ ，使得对于定义域内的任意 $x$ 均有 $f(x + T) = f(x)$ ，则称函数 $f(x)$ 为周期函数

Tip

若 $f(x + T) = f(x)$ ，则 $f(ax + b)$ 以 $\dfrac{T}{|a|}$ 为周期
若 $f(x)$ 以 $T_1$ 为周期、 $g(x)$ 以 $T_2$ 为周期，则 $f(x) \pm g(x)$ 、 $f(x) \cdot g(x)$ 以 $T_1$ 、 $T_2$ 的最小公倍数为周期

例7：判断函数 $f(x) = |x \sin x| e^{\cos x} (-\infty \lt x \lt \infty)$ 是_____.
（A）有界函数
（B）单调函数
（C）周期函数
（D）偶函数
Answer
- （A）
  $\forall M \in \mathbb{N}^+$ ， $\exists x' = 2M\pi + \frac{\pi}{2}$ ，则有：
  $f (x^{'}) = | (2 M π + \frac{π}{2}) \sin (2 M π + \frac{π}{2}) | \cdot e^{\cos (2 M π + \frac{π}{2})} = 2 M π + \frac{π}{2} > M$
  由此可证函数 $f(x)$ 无界
- （B）
  计算 $x \in \{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi \}$ 的函数值：
  $(x_{1} = 0) < (x_{2} = \frac{π}{2}) < (x_{3} = π) \Rightarrow (f (0) = 0) < (f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}) > (f (π) = 0)$
  由此可证函数 $f(x)$ 随着 $x$ 的变化有增有减，并非单调函数
- （C）
  因为 $x$ 不具有周期性，则函数 $f(x)$ 也不具有周期性
- （D）
  已知 $|x| = |-x|$ 、 $|\sin x| = |\sin (-x)|$ 、 $\cos x = \cos (-x)$ ，所以：
  $| - x \sin (- x) | e^{\cos (- x)} - | x \sin x | e^{\cos x} = 0$
  所以 $f(-x) = f(x)$ ，由此可证函数 $f(x)$ 为偶函数

III. 基本初等函数

3.1 幂函数

一般形式： $f(x) = x^a$

3.2 指数函数

一般形式： $f(x) = a^x$

3.3 对数函数

一般形式： $f(x) = \log_{a} x \, (a \gt 0, a \neq 1)$

3.4 三角函数

	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
定义域	$(-\infty, \infty)$	$(-\infty, \infty)$	$x \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$	$x \neq k\pi,k \in \mathbb{Z}$	$x \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$	$x \neq k\pi,k \in \mathbb{Z}$
值域	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$(-\infty, \infty)$	$(-\infty, \infty)$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
单调性	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \uparrow, [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \downarrow$	$[0, \pi] \downarrow, [\pi, 2\pi] \uparrow$	$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}) \uparrow$	$(k\pi, k\pi + \pi) \downarrow$	$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}) \uparrow$	$(k\pi, k\pi + \pi) \downarrow$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	奇函数	偶函数	奇函数
周期性	$T = 2\pi$	$T = 2\pi$	$T = \pi$	$T = \pi$	$T = 2\pi$	$T = 2\pi$

3.4.1 常见公式

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$	$\tan x = \sin x / \cos x$	$\cot x = \cos x / \sin x$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$	$\csc^2 = 1 + \cot^2 x$

3.4.2 角度的和差公式

\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β

\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β

3.4.3 积化和差公式

\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]

\cos α \sin β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)]

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)]

\sin α \sin β = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)]

3.4.4 和差化积公式

设： $x = \alpha + \beta$ 、 $y = \alpha - \beta$ ，则： $\alpha = \frac{x + y}{2}$ 、 $\beta = \frac{x - y}{2}$

\sin x + \sin y = \sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = \sin (α + β) - \sin (α - β) = 2 \cos α \sin β = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

\cos x + \cos y = \cos (α + β) + \cos (α - β) = 2 \cos α \cos β = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = \cos (α + β) - \cos (α - β) = - 2 \sin α \sin β = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

3.4.5 万能公式及归一化公式

\sin x = \sin (\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{π}{2} = 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \cos^{2} \frac{x}{2} = 2 \tan \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{x}{2}}

\begin{array}{r} \cos x = \cos (\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} = \cos^{2} \frac{x}{2} (1 - \tan^{2} \frac{x}{2}) \\ = (1 - \tan^{2} \frac{x}{2}) / (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1 = 1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2} \end{array}

1 + \cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2}, 1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}

1 \pm \sin x = 1 \pm 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} = \pm 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\sin \frac{x}{2} \pm \cos \frac{x}{2})^{2}

3.5 反三角函数

	$\arcsin x$	$\arccos x$	$\arctan x$	$\text{arccot } x$
定义域	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$	$(-\infty, +\infty)$	$(-\infty, +\infty)$
值域	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$	$[0, \pi]$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$	$(0, \pi)$
单调性	$[-1, 1] \uparrow$	$[-1, 1] \downarrow$	$(-\infty, +\infty) \uparrow$	$(-\infty, +\infty) \downarrow$
奇偶性	奇函数		奇函数
周期性

IV. 其他函数类型

4.1 复合函数

若 $y = f(u)$ 、 $u = \varphi(x)$ ，当 $\varphi(x)$ 的值域落在 $f(u)$ 的定义域内时，称 $y = f[\varphi(x)]$ 是由中间变量 $u$ 复合成的复合函数

Example

编程语言中的函数组合：

haskell

compose :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b
compose = (.)

f :: (Fractional a) => a -> a
f x = x * 2

g :: (Fractional a) => a -> a
g x = x / 2

h :: (Fractional a) => a -> a
h = f `compose` g

compose :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b
compose = (.)

f :: (Fractional a) => a -> a
f x = x * 2

g :: (Fractional a) => a -> a
g x = x / 2

h :: (Fractional a) => a -> a
h = f `compose` g

由 $f$ 与 $g$ 组合得到的函数 $h(x) = x$

4.2 分段函数

如下所示，在不同情况下应用不同的法则的函数：

y = f (x) = {\begin{cases} f_{1} (x), & x \in I_{1} \\ f_{2} (x), & x \in I_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{n} (x), & x \in I_{n} \end{cases}

Tip

绝对值函数：
$f (x) = | x | = {\begin{cases} x, & x \geq 0 \\ - x, & x < 0 \end{cases}$
符号函数：
$f (x) = sgn x = {\begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{cases}$
取整函数：
$f (x) = [x]$
最值函数：
$φ_{1} (x) = max {f (x), g (x)}$ $φ_{2} (x) = min {f (x), g (x)}$

例8：设：
$g (x) = {\begin{cases} 2 - x, & x \leq 0 \\ x + 2, & x > 0 \end{cases}$ $f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x < 0 \\ - x, & x \geq 0 \end{cases}$
求复合函数 $g \circ f$ 、 $f \circ g$
Answer
$g \circ f = {\begin{cases} x^{2} + 2, & x < 0 \\ x + 2, & x \geq 0 \end{cases}$ $f \circ g = {\begin{cases} x - 2, & x \leq 0 \\ - x - 2, & x > 0 \end{cases}$

4.3 由参数方程确立的函数

一般形式：

{\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \end{cases}

4.4 隐函数

一般形式：

F (x, y) = 0

V. 练习题

已知 $f(x) = \sin x$ ， $f[\varphi(x)] = 1 - x^2$ ，则 $\varphi(x) =$ _____；其定义域为_____.
Answer
由题可得：
$\sin φ (x) = 1 - x^{2}$
则：
$φ (x) = \arcsin (1 - x^{2})$
其定义域为：
$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$
函数 $f(x + \frac{1}{x}) = \dfrac{x + x^3}{1 + x^4}$ ，求 $f(x)$ .
Answer
$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 2}$
判断函数 $f(x) = \ln (\dfrac{1 - x}{1 + x})$ 的奇偶性。
Answer
计算 $f(-x) + f(x)$ ：
$\ln \frac{1 + x}{1 - x} + \ln \frac{1 - x}{1 + x} = \ln \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 - x) (1 + x)} = \ln 1 = 0$
由此可证函数 $f(x)$ 为奇函数
判断函数 $f(x) = \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})$ 的奇偶性。
Answer
计算 $f(-x) - f(x)$ ：
$\frac{a^{- x} + a^{x}}{2} - \frac{a^{x} + a^{- x}}{2} = 0$
由此可证函数 $f(x)$ 为偶函数
判断函数 $f(x) = x (\dfrac{1}{2^x - 1} + \dfrac{1}{2})$ 的奇偶性。
Answer
计算 $f(-x)$ 可得：
$f (- x) = - x (- \frac{2^{x}}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}) = - x (- \frac{1}{2^{x} - 1} - \frac{1}{2}) = x (\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2})$
可见 $f(-x) = f(x)$ ，则此函数为偶函数
设 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，存在常数 $c \neq 0$ ，使 $f(x + c) = -f(x)$ ，试证明 $f(x)$ 为周期函数。
Answer
$f (x + c) = - f (x)$ $f (x + 2 c) = - f (x + c) = f (x)$ $f (x + 3 c) = - f (x + 2 c) = f (x + c) = - f (x)$ $f (x + 4 c) = - f (x + 3 c) = f (x + 2 c) = - f (x + c) = f (x)$
显然可见， $f(x)$ 的周期 $T = 2c$ ，
$f(x + 2kc) = f(x), k \in \mathbb{Z}$ ，
$f(x + (2k - 1)c) = -f(x), k \in \mathbb{Z}$
函数 $y = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1}), (x \geq 1)$ 的反函数是_____.
Answer
将此函数转换成用 $x = f(y)$ 的形式：
$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} - 1}$ $e^{y} - x = \sqrt{x^{2} - 1}$ $e^{2 y} + x^{2} - 2 e^{y} x = x^{2} - 1$ $e^{2 y} - 2 e^{y} x = - 1$ $x = \frac{e^{2 y} + 1}{2 e^{y}}$

第一节 函数 ​

I. 函数的概念 ​

1.1 函数的定义 ​

1.2 反函数的定义 ​

II. 函数的基本特性 ​

2.1 有界性 ​

2.2 单调性 ​

2.3 奇偶性 ​

2.4 周期性 ​

III. 基本初等函数 ​

3.1 幂函数 ​

3.2 指数函数 ​

3.3 对数函数 ​

3.4 三角函数 ​

3.4.1 常见公式 ​

3.4.2 角度的和差公式 ​

3.4.3 积化和差公式 ​

3.4.4 和差化积公式 ​

3.4.5 万能公式及归一化公式 ​

3.5 反三角函数 ​

IV. 其他函数类型 ​

4.1 复合函数 ​

4.2 分段函数 ​

4.3 由参数方程确立的函数 ​

4.4 隐函数 ​

V. 练习题 ​