第三节 特殊类型函数的积分 ​

I. 有理函数的积分 ​

设$P_n(x)$、$Q_m(x)$分别为$n$次和$m$次的多项式，则称：

为有理函数，其中$a_0 \neq 0$、$b_0 \neq 0$；

当$n \lt m$时，称此有理函数为真分式，利用分解部分分式的方法，可以将有理函数$R(x)$分解为如下四种类型的部分分式：

其中$b^2 - 4c \lt 0$，上述函数的不定积分均可用上一节的积分技巧来计算；

当$n \geq m$时，称此有理函数为假分式，利用多项式除法，将有理假分式化简为多项式与真分式之和后，再使用上述的真分式分解法进行计算

• 例1：求下列不定积分：

  1. $\int \dfrac{2x + 3}{x^2 - 3x + 2} \mathrm{d}x$

     Answer

     首先对分母进行因式分解：

     然后使用待定系数法将其分解成部分分式：

     化简得：

     当$x = 2$时：

     当$x = 1$时：

     然后继续进行积分计算：

  2. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2 (x - 1)}$

     Answer

     使用待定系数法将其分解成部分分式：

     化简得：

     当$x = 1$时：

     当$x = 0$时：

     当$x = 2$时，代入$B = -1$、$C = 1$：

     解得：

     然后继续进行积分计算：

  3. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2)}$

     Answer

     使用待定系数法将其分解成部分分式：

     化简得：

     当$x = -1$时：

     当$x = 0$时，代入$A = 1$：

     当$x = 1$时，代入$A = 1$、$C = -1$：

     然后继续进行积分计算：

  4. $\int \dfrac{x^5 + 1}{x^2 + 1} \mathrm{d}x$

     Answer

     注意到分子的最高次数大于分母的最高次数，所以先使用多项式除法进行化简：

     所以对原式化简可得：

     最终解得：

II. 三角函数有理式的不定积分 ​

由三角函数$\sin x$、$\cos x$与常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理函数，记作$R(\sin x, \cos x)$。对于三角函数有理式的积分，由于：

通常利用万能公式$u = \tan \frac{x}{2}$，将其转换为有理函数的积分，即：

• 例2：求下列不定积分：

  1. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x + \tan x}$

     Answer

  2. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{5 + \cos x}$

     Answer

III. 简单无理函数的不定积分 ​

对于简单无理函数$R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}})$的积分，通常通过变量代换$t = \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}$将其转换为有理函数的积分

• 例3：求下列不定积分：

  1. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$

     Answer

  2. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1 + \sqrt[3]{x + 1}}$

     Answer

  3. $\int \dfrac{1}{x} \sqrt{\dfrac{1 + x}{x}} \mathrm{d}x$

     Answer