第四节 函数的微分 ​

I. 微分的定义 ​

设函数$f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0 + \Delta x$在此区间内，若函数的增量：

其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数，则称函数$f(x)$在点$x = x_0$处可微，称$\mathrm{d}y = A\Delta x$为$f(x)$在点$x = x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，通常把自变量的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作$\mathrm{d}x$，即$\mathrm{d}x = \Delta x$

函数$f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且存在：

II. 可导、可微与连续的关系 ​

可导必连续，连续未必可导；可微必连续，连续未必可微；可导必可微，可微必可导

III. 微分的几何意义 ​

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$是曲线$y = f(x)$在$x = x_0$处对应于自变量增量$\Delta x$的纵坐标的增量，而微分$\mathrm{d}y|_{x = x_0}$则是曲线$y = f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的纵坐标的增量，微分就是用切线的变化量来近似原曲线的变化量

IV. 初等函数的微分公式与微分运算法则 ​

• 基本微分公式：

• 微分运算法则：

V. 一阶微分形式的不变性 ​

设$y = f(u)$、$u = g(x)$，则符合函数$y = f\left[ g(x) \right]$的微分为：

由此可见，无论$u$是自变量亦或是中间变量，微分形式$\mathrm{d}y = f'(u) \mathrm{d}u$保持不变，该性质称为一阶微分形式的不变性

• 例1：设$x = y^y$，则$\mathrm{d}y$ = _____.

  Answer

  首先通过隐函数求导求得$\mathrm{d}y / \mathrm{d}x$：

  则根据微分公式可得：

• 例2：设$y = f(\ln x) e^{f(x)}$，其中$f$可微，则$\mathrm{d}y$ = _____.

  Answer