第一节 定积分 ​

I. 定积分的概念与性质 ​

1.1 定积分的定义 ​

设函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上连续，用分点：

将$\left[ a, b \right]$分为$n$个小区间$\left[ x_{i - 1}, x_i \right]$（$i = 1, 2, ... , n$），用$\Delta x = x_i - x_{i - 1}$表示各个小区间的长度，在每个小区间上任取一点$\xi_i \in \left[ x_{i - 1}, x_i \right]$，进行作和：

令$\lambda = \max_{1 \leq i \leq n} \{ \Delta x_i \}$，若当$\lambda \to 0$时，对任意的划分方式和任意的取点方式，上述和式的极限存在且唯一，则称该极限值为函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上的定积分，记作：

其中$x$称为积分变量，$f(x)$称为被积函数，$a$、$b$分别称为积分下限和积分上限；当$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上的定积分存在时，称$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积

• 例1：将下列极限写出对应的定积分形式：

  1. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (\sqrt{1 + \cos \dfrac{\pi}{n}} + \sqrt{1 + \cos \dfrac{2\pi}{n}} + ... + \sqrt{1 + \cos \dfrac{n\pi}{n}})$

     Answer

  2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\dfrac{1}{n^3 + n^2} + \dfrac{4}{n^3 + 2n^2} + \dfrac{9}{n^3 + 3n^2} + ... + \dfrac{i^2}{n^3 + in^2} + ... + \dfrac{1}{2n})$

     Answer

1.2 可积的必要条件 ​

1. 若$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上有界

1.3 可积的充分条件 ​

1. 若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积

2. 若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上有界，且仅有有限个间断点，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积

3. 若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上单调有界，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积

1.4 定积分的几何意义 ​

1. 若$\forall x \in \left[ a, b \right], f(x) \geq 0$，则$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$表示由曲线$y =f(x)$和两条直线$x = a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积
2. 若$\forall x \in \left[ a, b \right], f(x) \leq 0$，则$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$表示由曲线$y = f(x)$和两条直线$x = a$、$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积的负值
3. 若上述条件均不满足，则$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$表示$f(x)$在$x$轴上方的图形面积与$x$轴下方的图形面积之差

• 例2：根据定积分的几何意义计算$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x$.

  Answer

  显然函数$y = \sqrt{1 - x^2}$是一个圆心在点$(0, 0)$且半径为$1$并处于$x$轴上方的半圆，则其面积为：

• 例3：设在区间$\left[ a, b \right]$上$f(x) \gt 0$、$f'(x) \lt 0$、$f''(x) \gt 0$，令$S_1 = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$、$S_2 = f(b)(b - a)$、$S_3 = \dfrac{1}{2} \left[ f(a) + f(b) \right](b - a)$，则三者之间的大小关系为_____.

  Answer

  设$f(x) = x^2 + 1$，$a = -1$，$b = 0$

  比较后可得结果：

1.5 定积分的性质 ​

设下述定积分皆存在，则：

1. （线性运算性质）设$\alpha$与$\beta$为常数，则：

2. 设$a \lt b$，则：

3. 若在区间$\left[ a, b \right]$上$f(x) \equiv 1$，则：

4. 若在区间$\left[ a, b \right]$上$f(x) \geq 0$，则：

   推论一：若在区间$\left[ a, b \right]$上$f(x) \leq g(x)$，则：（$a \leq b$）

   Proof

   设$F(x) = g(x) - f(x)$，则在$\left[ a, b \right]$上$F(x) \geq 0$，则根据定积分性质一和性质四可知：

   推论二：

   Proof

   因为：

   则由定积分性质四的推论一可知：

   即可证得：

   Attention

   设$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，且$\forall x \in \left[ a, b \right] \rightarrow f(x) \geq 0$，试证明：

   1. $\exists x_0 \in \left[ a, b \right] \rightarrow f(x_0) \neq 0 \Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \gt 0$
   2. $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = 0 \Rightarrow \forall x \in \left[ a, b \right] \rightarrow f(x) \equiv 0$

   由$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续可知：

   又因为：

   且：

   所以：

   又由极限的保号性可知：

   于是根据定积分的可加性可知：

   假设：

   所以：

   则由（1）可知：

   这不符合前提条件，所以：

5. （估值定理）设$M$和$m$分别为函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上的最大值和最小值，则：

   Proof

   因为：

   所以由定积分性质四的推论一可知：

   又因为定积分的线性运算性质以及性质三，有：

   所以最终可得：

6. （定积分第一中值定理）若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，则：

   Proof

   设$m$和$M$分别为函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上的最大值和最小值，则由定积分性质五估值定理可知：

   又因为$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，则由介值定理可知：

   Tip

   1. 作用：用于去掉积分号
   2. $f(\xi) = \dfrac{\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x}{b - a}$表示$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上的“平均值”

7. （定积分第二中值定理）若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，$g(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积且不变号，则：

   Proof

   设$m$和$M$分别为函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上的最小值和最大值，则$m \leq f(x) \leq M$，不妨设$g(x) \gt 0$，则有：

   则由定积分性质四的推论二可知：

   则最终由介值定理可证：

   而在$g(x) \lt 0$时也同理可证

• 例4：求$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x} \cdot f(x) \mathrm{d}x$，其中$f(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续

  Answer

  因为$\dfrac{f(x)}{1 + x}$在区间$\left[ a, b \right]$上连续，且$x^n$在区间$\left[ 0, 1 \right]$上可积并不变号，则根据定积分第二中值定理可知：

• 例5：已知$\displaystyle\int_{-1}^{1} 3f(x) \mathrm{d}x = 18$、$\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d}x = 4$、$\displaystyle\int_{-1}^{3} g(x) \mathrm{d}x = 3$

  1. $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x$

     Answer

  2. $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d}x$

     Answer

     由性质二可知：

  3. $\displaystyle\int_{3}^{-1} g(x) \mathrm{d}x$

     Answer

  4. $\displaystyle\int_{-1}^{3} \frac{1}{5} \left[ 4f(x) + 3g(x) \right] \mathrm{d}x$

     Answer

• 例6：设$I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \mathrm{d}x$、$J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \mathrm{d}x$、$K = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \mathrm{d}x$，则三者间的大小关系为_____.

  Answer

II. 微积分基本定理 ​

2.1 积分限函数的定义 ​

设函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上连续，而$x$为$\left[ a, b \right]$上任意一点，则称：

为积分上限函数；称：

为积分下限函数

2.2 积分限函数的性质 ​

• 奇偶性：

  1. 若函数$f(x)$为连续的奇函数，则$\varphi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$为偶函数

     Proof

  2. 若函数$f(x)$为连续的偶函数，则$\varphi(x) = \displaystyle\int_0^x f(t) \mathrm{d}t$为奇函数

     Proof

• 连续性：

  若函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上可积，则$\varphi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$在$\left[ a, b \right]$上连续

  Proof

  对于所有的$x_0 \in \left[ a, b \right]$，设$\Delta x$和$\Delta y$分别为自变量和因变量的增量，且$a \leq x_0 + \Delta x \leq b$，则只需证明当$\Delta x \to 0$时$\Delta y \to 0$即可，考虑这个极限：

  又因为$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积，则其必然有界，即：

  于是有：

  则根据夹逼准则可得：

  于是：

  即$\varphi(x)$在$x_0$处连续，而$x_0$的取值具有任意性，所以$\varphi(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续

• 可导性：

  若函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上连续，则$\varphi(x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$在$\left[ a, b \right]$上可导，且$\varphi'(x) = f(x)$

  Proof

  • 当$a \lt x \lt b$时：

    根据定积分第一中值定理可知：

  • 当$x = a$时：

    根据定积分第一中值定理可知：

  • 当$x = b$时：

    根据定积分第一中值定理可知：

  综上所述，可证得$\varphi(x)$在$\left[ a, b \right]$上可导，且$\varphi'(x) = f(x)$

• 求导法则：

• 例7：求$F(x) = \displaystyle\int_{\sin x}^{x^2} \frac{x}{\sqrt{1 + t^4}} \mathrm{d}t$的导数

  Answer

• 例8：设$f(x) = \dfrac{x^2}{x - a} \displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$，其中$f(x)$为连续函数，求$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$.

  Answer

  首先判定极限的类型：

  明显这是一个零比零型未定式，考虑使用洛必达法则对分子分母分别进行求导：

• 例9：设$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上有连续导数，且$f'(0) = 1$，求：$\displaystyle\lim_{a \to 0^+} \frac{1}{4a^2} \int_{-a}^{a} \left[ f(t + a) - f(t - a) \right] \mathrm{d}t$.

  Answer