第三节 高阶导数 ​

I. 高阶导数的概念 ​

顾名思义啊，高阶导数，就是指导数的导数，例如$y = f(x)$、$y' = f'(x)$、$y'' = f''(x)$这样的三个函数，$y' = f'(x)$是$y = f(x)$的导函数，$y'' = f''(x)$是$y' = f'(x)$的导函数，而$y'' = f''(x)$则是$y = f(x)$的高阶导数（二阶导数），记作$y''$或$\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}$

类似的，$y = f(x)$的导数的导数是它的二阶导数，它的二阶导数的导数是它的三阶导数……总而言之：$y = f(x)$的$n - 1$阶导数的导数是它的$n$阶导数，对于更高阶的导数，可以表示为$y^{(n)}$或$\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$

II. 高阶导数的计算 ​

2.1 常见的高阶导数公式 ​

1. $(e^x)^{(n)} = e^x$，$(a^x)^{(n)} = a^x \ln^n a$
2. $(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \dfrac{\pi x}{2})$
3. $(\cos x)^{(n)} =\cos (x + \dfrac{\pi x}{2})$
4. $(x^a)^{(n)} = a(a - 1) \, ... \, (a - n + 1)x^{a - n} ,\, (a \geq n)$
5. $(\dfrac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n n! x^{-1 - n}$
6. $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n - 1} (n - 1)! x^{-n}$

2.2 高阶导数运算法则 ​

1. $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}$
2. $(uv)^{n} = \sum^{n}_{k = 0} C^{k}_{n} u^{(n - k)} v^{(k)}$^[1]（莱布尼茨公式）

• 例1：已知函数$f(x)$具有任意阶导数，且$f'(x) = \left[ f(x) \right]^2$，则当$n \in \mathbb{N}_+$且$n \geq 2$时，$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$如何表示？

  Answer

• 例2：求函数$f(x) = x^2 \ln (1 + x)$在$x = 0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0) \, (n \geq 3)$.

  Answer

  根据莱布尼茨公式可知：

  观察这个式子，当$k \geq 3$时$(x^2)^{(k)} = 0$，可见$k \geq 3$的项的值通通为$0$，而前两项当$x = 0$时也为$0$，因此只需计算第三项的值：

  接下来求$y = \ln (1 + x)$的$n$阶导数：

  • 当$n = 1$时：

  • 当$n = 2$时：

  • 当$n = 3$时：

  • 当$n = 4$时：

  • 当$n = n$时：

  则最终结果为：

III. 反函数的二阶导数 ​

设函数$y = f(x)$具有二阶导数$f''(x)$，且$f'(x) \neq 0$，$x = \varphi(y)$是$y = f(x)$的反函数，则：

• 例3：已知$f'(x) = ae^{2x} \, (a \gt 0)$，求$f(x)$的反函数的二阶导数。

  Answer

  • 积分法：

  • 公式法：

    首先求出$f''(x)$：

    然后将$f'(x)$和$f''(x)$代入公式：

IV. 参数方程所确立的函数的二阶导数 ​

设参数方程：

其确定了$y$与$x$间的关系，若$x = \varphi(x)$具有单调连续的反函数$t = \varphi^{-1}(x)$，$x = \varphi(t)$和$y = \psi(t)$皆二阶可导，且$\varphi'(t) \neq 0$，则：

• 例4：设函数$y = y(x)$由参数方程：

  所确定，则$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =$ _____.

  Answer

  首先求得$\dfrac{\mathrm{d}y / \mathrm{d}t}{\mathrm{d}x / \mathrm{d}t}$：

  然后计算$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\dfrac{\mathrm{d}y / \mathrm{d}t}{\mathrm{d}x / \mathrm{d}t}) \cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$：