第三节 连续 ​

I. 函数的连续性 ​

1.1 函数连续的定义 ​

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，极限$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，且$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称函数$y = f(x)$在点$x_0$处连续，并称$x_0$是$f(x)$的连续点

1.2 左连续和右连续 ​

如果函数满足条件$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处左连续；

如果函数满足条件$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处右连续

• 例1：若函数

  在$x = 0$处连续，则_____.

  • （A）$ab = \frac{1}{2}$
  • （B）$ab = -\frac{1}{2}$
  • （C）$ab = 0$
  • （D）$ab = 2$
  Answer

  既已知$f(x)$在$x = 0$处连续，则说明其同时满足左连续和右连续的条件：

  由此可得等式：

  两边同除以$b$可得：

  由此可知：

  所以最终可得：

1.3 区间上的连续函数 ​

若函数$f(x)$在开区间$(a, b)$内每一点连续，则称其在$(a, b)$内连续；若函数$f(x)$在$(a, b)$内连续，且在区间的左端点处右连续、右端点处左连续，则称其在闭区间$\left[ a, b \right]$上连续

• 例2：设函数

  在$(-\infty, +\infty)$内连续，则$c$为何值？

  Answer

  为了使函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，需要满足以下条件：

  1. 对于 $x = c$ 处的连续性：

  2. 对于 $x = -c$ 处的连续性：

  由于函数 $f(x)$ 的形式是关于 $|x|$ 对称的，因此只需要检查 $x = c$ 处的连续性即可，由此可得等式：

  最终可解得$c = 1$

  注意：此题目的条件中$|x| \leq c$隐含了$c \geq 0$，因此在极限$\lim_{x \to c^+} \frac{2}{|x|}$中可以直接去掉绝对值得到$\frac{2}{c}$

II. 函数的间断点及其分类 ​

2.1 间断点的定义 ​

设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域或者去心邻域内有定义，若$f(x)$在点$x_0$处具有以下三种情况之一，则称$x_0$为$f(x)$的间断点：

1. $f(x)$在点$x_0$处无定义
2. $f(x)$在点$x_0$处有定义，但$\lim_{x \to x_0} f(x)$不存在
3. $f(x)$在点$x_0$处有定义且$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，但$\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$

2.2 间断点的分类 ​

• 例3：讨论函数$f(x) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} x \, (n \in \mathbb{N}_+)$的连续性，若有间断点，则判断其类型。

  Answer

  当$x = 0$时：

  当$|x| = 1$时：

  当$0 \lt |x| \lt 1$时：

  当$|x| \gt 1$时：

  可见$x = 1$和$x = -1$这两个点是间断点，因为在$x = 1$的右侧和$x = -1$的左侧函数值为$-1$，而在$x = 1$的左侧和$x = -1$的右侧函数值为$1$，所以这两个点为跳跃间断点，左右极限值存在但不相等

• 例4：函数$f(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x - 1}} \ln (1 + x)}{(e^x - 1)(x - 2)}$的第二类间断点的个数为_____.

  • （A）1
  • （B）2
  • （C）3
  • （D）4
  Answer

  寻找其未定义的点

  1. 当$x = 0$时：

  2. 当$x = 2$时：

  3. 当$x = 1$时：

  4. 当$x = -1$时：

  所以$x = 0$为一类间断点，$x = -1, 1, 2$为二类间断点，故而选C

III. 连续函数的运算 ​

1. 设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，则$f(x) \pm g(x)$、$f(x) \cdot g(x)$、$f(x) / g(x) \, (g(x_0) \neq 0)$都在点$x_0$连续
2. 连续函数的反函数也是连续函数
3. 连续函数的复合函数也是连续函数（但是两个具有间断点的函数组合而成的复合函数也有可能是连续的，因此复合函数连续未必能推出组成它的函数也连续）
4. 基本初等函数在其定义域上均连续
5. 一切初等函数在其定义区间内都连续（但在定义域上未必连续）

• 例5：设$f(x)$和$\varphi(x)$在$(-\infty, +\infty)$上有定义，$f(x)$为连续函数，且$f(x) \neq 0$，$\varphi(x)$有间断点，则_____.

  • （A）$\varphi \left[ f(x) \right]$必有间断点
  • （B）$\left[ \varphi(x) \right]^2$必有间断点
  • （C）$f\left[ \varphi(x) \right]$必有间断点
  • （D）$\varphi(x) / f(x)$必有间断点
  Answer

  选项A、B、C的反例：

  故选D

IV. 闭区间上连续函数的性质 ​

1. 有界性定义：设$f(x)$在闭区间$\left[ a, b \right]$上连续，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上必有界
2. 最值定理：设$f(x)$在闭区间$\left[ a, b \right]$上连续，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上必有最大值$M$和最小值$m$
3. 介值定理：设$f(x)$在闭区间$\left[ a, b \right]$上连续，则对于任意$c \in \left[ m, M \right]$，至少存在一点$\xi \in \left[ a, b \right]$，使$f(\xi) = c$
4. 零点定理：设$f(x)$在闭区间$\left[ a, b \right]$上连续，若$f(a) \cdot f(b) \lt 0$，则至少存在一点$\xi \in \left[ a, b \right]$，使$f(\xi) = 0$
5. 推论：设$f(x)$在开区间$(a, b)$上连续，若$\lim_{x \to a^+} f(x) = A \gt 0$、$\lim_{x \to b^-} f(x) = B \lt 0$，则至少存在一点$\xi \in (a, b)$，使$f(\xi) = 0$

• 例6：设函数$f(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续，且$f(1) \gt 0$，$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x)}{x} \lt 0$，试证明：方程$f(x) = 0$在区间$(0, 1)$内至少有一个实根。

  Answer

  首先分析$\lim_{x \to 0^+} f(x) / x \lt 0$这个过程：已知在此过程中$x \gt 0$，而结果却小于$0$，这说明在此过程中$f(x) \lt 0$，即：

  又因为函数$f(x)$在$x = 0$这一点上连续，所以：

  由此我们可以得到：

  则由介值定理可得对于$0 \in \left[ m, M \right]$，至少存在一点$\xi \in \left[ a, b \right]$，使$f(\xi) = 0$

• 例7：设$f(x)$在$\left[ 0, 2a \right]$上连续，且$f(0) = f(2a)$，试证明：$f(x) = f(x + a)$在$\left[ 0, a \right]$内至少有一个根。

  Answer

  函数$f(x)$的连续区间为：

  则函数$f(x + a)$的连续区间为：

  设函数$F(x) = f(x) - f(x + a)$，则其必然在两个函数的连续区间的交集上连续，即：

  求得$F(0)$的值为：

  求得$F(a)$的值为：

  设$F(0) = A$，可见$F(a) = -A$，则$F(0) \cdot F(a) = -A^2 \leq 0$，则根据零点定理可证：至少存在一点$\xi \in \left[ 0, a \right]$，使得$F(x) = f(x) - f(x + a) = 0$

• 例8：若函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，$a \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt ... \lt x_n \lt b \, (n \geq 3)$，试证明：在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$，使$f(\xi) = \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + ... + f(x_n)}{n}$.

  Answer

  因为函数$f(x)$在区间$\left[ a, b \right]$上连续，根据最值定理，则在此区间内必然存在最大值$M_f$和最小值$m_f$，使得：

  设$M = \max \{ f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n) \}$、$m = \min\{ f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n) \}$，则有：

  再同时除以$n$可得：

  最终根据介值定理可得，对于$m_f \leq \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + ... + f(x_n)}{n} \leq M_f$，至少存在一点$\xi \in \left[ a, b \right]$，使得$f(\xi) = \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + ... + f(x_n)}{n}$