第一节 微分中值定理 ​

I. 罗尔定理 ​

极值：若$\exists \delta \gt 0$，使得$\forall x \in U(x_0, \delta)$，若恒有$f(x) \geq f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极小值；若恒有$f(x) \leq f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极大值

费马引理：设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对于任意$x \in U(x_0)$，有$f(x) \leq f(x_0)$或$f(x) \geq f(x_0)$，则$f'(x_0) = 0$

注：若$f'(x_0) = 0$，则称$x_0$为$f(x)$的驻点，可导点 $+$ 极值点 $\Rightarrow$ 驻点

Proof

已知$\forall x \in U(x_0)$，$\exists f(x) \geq f(x_0)$，且$f'(x_0)$存在

设$\Delta x + x \in U(x_0)$，则$f(\Delta x + x) \leq f(x_0)$，求$f'(x_0)$：

• 左导数：

  分子$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \leq 0$，分母$\Delta x \lt 0$，所以$f'_-(x_0) \geq 0$

• 右导数：

  分子$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \leq 0$，分母$\Delta x \gt 0$，所以$f'_-(x_0) \leq 0$

又因为已知$f'(x_0)$存在，则可知$\left[ f'_-(x_0) \geq 0 \right] = \left[ f'_+(x_0) \leq 0 \right]$，最终可得$f'(x_0) = 0$

设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，则至少存在一个点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$

• 例1：已知$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导（$0 \lt a \lt b$），且$f(a) = f(b) = 0$，证明：在区间$(a, b)$内至少有一点$\xi$，使得$f'(\xi) = -\dfrac{f(\xi)}{\xi}$.

  Answer

  将原式进行恒等变换可得：

  设函数：

  则$F(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$F(a) = F(b) = 0$，所以根据罗尔定理可知：

  变换回原式可得：

• 例2：设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上具有二阶连续导数，$f(a) = f(b) = 0$，$f'_+(a) f'_-(b) \gt 0$，证明：

  • 存在$\xi \in (a, b)$，使得$f(\xi) = 0$

    Answer

    由$f'_+(a) f'_-(b) \gt 0$可知，$f'_+(a)$与$f'_-(b)$同号，假设$f'_+(a) \gt 0$、$f'_-(b) \gt 0$，则：

    对于$f'_+(a)$，当$\Delta x \to 0^+$时，$\Delta x \gt 0$，则$f(a + \Delta x) \gt 0$；

    对于$f'_-(b)$，当$\Delta x \to 0^-$时，$\Delta x \lt 0$，则$f(b + \Delta x) \lt 0$；

    则根据极限的定义可知：

    • $\exists \epsilon_1 \gt 0$，使得当$x \in (a, a + \epsilon_1)$时，$f(x) \gt 0$；
    • $\exists \epsilon_2 \gt 0$，使得当$x \in (b - \epsilon_2, b)$时，$f(x) \lt 0$；

    取点$x_1 \in (a, a + \epsilon_1)$和$x_2 \in (b - \epsilon_2, b)$，可得$f(x_1) f(x_2) \lt 0$，且$f(x)$在$\left[ x_1, x_2 \right]$上连续，则根据零点定理可知，$\exists \xi \in (x_1, x_2)$，使得$f(\xi) = 0$；

    假设$f'_+(a) \lt 0$、$f'_-(b) \lt 0$，则：

    对于$f'_+(a)$，当$\Delta x \to 0^+$时，$\Delta x \gt 0$，则$f(a + \Delta x) \lt 0$；

    对于$f'_-(b)$，当$\Delta x \to 0^-$时，$\Delta x \lt 0$，则$f(b + \Delta x) \gt 0$；

    则根据极限的定义可知：

    • $\exists \epsilon_1 \gt 0$，使得当$x \in (a, a + \epsilon_1)$时，$f(x) \lt 0$；
    • $\exists \epsilon_2 \gt 0$，使得当$x \in (b - \epsilon_2, b)$时，$f(x) \gt 0$；

    取点$x_1 \in (a, a + \epsilon_1)$和$x_2 \in (b - \epsilon_2, b)$，可得$f(x_1) f(x_2) \lt 0$，且$f(x)$在$\left[ x_1, x_2 \right]$上连续，则根据零点定理可知，$\exists \xi \in (x_1, x_2)$，使得$f(\xi) = 0$；

    则最终可得：$\exists \xi \in (a, b)$，使得$f(\xi) = 0$.

  • 存在$\eta \in (a, b)$，使得$f''(\eta) = 0$

    Answer

    由上一问可知，$\exists \xi \in (a, b)$，使得$f(\xi) = 0$

    对于区间$\left[ a, \xi \right]$，函数$f(x)$在$\left[ a, \xi \right]$上连续且可导，$f(a) = f(\xi) = 0$，则根据罗尔定理可知：$\exists \eta_1 \in (a, \xi)$，使得$f'(\eta_1) = 0$；

    对于区间$\left[ \xi, b \right]$，函数$f(x)$在$\left[ \xi, b \right]$上连续且可导，$f(\xi) = f(b) = 0$，则根据罗尔定理可知：$\exists \eta_2 \in (\xi, b)$，使得$f'(\eta_2) = 0$；

    对于区间$\left[ \eta_1, \eta_2 \right]$，函数$f'(x)$在$\left[ \eta_1, \eta_2 \right]$上连续且可导，$f'(\eta_1) = f'(\eta_2) = 0$，则根据罗尔定理可知：$\exists \eta \in (\eta_1, \eta_2)$，使得$f''(\eta) = 0$；

    又因为$a \lt \eta_1 \lt \xi \lt \eta_2 \lt b$，而$\eta_1 \lt \eta \lt \eta_2$，则$a \lt \eta \lt b$，可得：$\exists \eta \in (a, b)$，使得$f''(\eta) = 0$.

• 例3：设$f(x)$在$(a, b)$内二阶可导，且$f(x_1) = f(x_2) = f(x_3)$，其中$a \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt b$. 试证明：在$(x_1, x_3)$内至少有一点$\xi$，使得$f''(\xi) = 0$.

  Answer

  因为$f(x_1) = f(x_2)$，则：

  又因为$f(x_2) = f(x_3)$，则：

  由此可知$f'(\xi_1) = f'(\xi_2) = 0$，则：

  而：

  则最终可得：

• 例4：设函数$f(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续，在$(0, 1)$内可导，且$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x)}{x} = 2$，试证明：在$(0, 1)$内存在$\xi$，使得$f'(\xi) = \dfrac{2\xi}{1 - \xi^2} f(\xi)$.

  Answer

  分析：把$\xi$换成$x$，有$f'(x) (1 - x^2) - 2x f(x) = 0$，由其可得$[(1 - x^2) f(x)]' = 0$，故等式左侧原函数为$(1 - x^2) f(x)$

  令$F(x) = (1 - x^2)f(x)$，则$F(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续且在$(0, 1)$内可导

  因为：

  则：

  又因为$f(x)$在$x = 0$处连续，则：

  则：

  而：

  则$F(0) = F(1)$，由罗尔定理可知：

  而：

  则：

  又因为$0 \lt \xi \lt 1$，则$1 - \xi^2 \neq 0$，则最终可得：

• 例5：设函数$f(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续，在$(0, 1)$内可导，且$f(0) = f(1) = 0$，$f(0.5) = 1$，试证明：

  1. 存在$\eta \in (0.5, 1)$，使得$f(\eta) = \eta$；
  2. 对任意实数$\lambda$，必存在$\xi \in (0, \eta)$，使得$f'(\xi) - \lambda \left[ f(\xi) - \xi \right] = 1$.
  Answer

  • 证明一：

    令$F(x) = f(x) - x$，则$F(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续

    因为$f(\frac{1}{2}) = 1$，所以：

    又因为$f(1) = 0$，所以：

    故由零点定理可得：

    则最终可得：

  • 证明二：

    分析：由$f'(x) - \lambda \left[ f(x) - x \right] - 1 = 0$可以得到$\left[ f(x) - x \right]' - \lambda \left[ f(x) - x \right] = 0$，这种形式可以构造$\left[ e^{kx} f(x) \right]'$

    令$G(x) = e^{-\lambda x} \left[ f(x) - x \right]$，则$G(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续且在$(0, 1)$内可导

    由（1）可知：

    则：

    又因为$f(0) = 0$，则：

    所以由罗尔定理可得：

    而：

    则：

    则：

    则最终可得：

II. 拉格朗日中值定理 ​

设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导，则至少存在一个点$\xi \in (a, b)$，使得：

• 例6：设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导，证明：在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\dfrac{bf(b) - af(a)}{b - a} = \xi f'(\xi) + f(\xi)$.

  Answer

  设函数$F(x) = xf(x)$，则$F'(x) = xf'(x) + f(x)$，且$F(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，在$(a, b)$内可导

  对于函数$F(x)$，在区间$\left[ a, b \right]$上应用拉格朗日中值定理，则有：

  即：

• 例7：已知函数$f(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续，在$(0, 1)$内可导，且$f(0) = 0$、$f(1) = 1$，试证明：在$(0, 1)$内至少有一点$\xi$，使得$e^{\xi - 1} \left[ f(\xi) + f'(\xi) \right] = 1$.

  Answer

  令$F(x) = e^{x - 1} f(x)$，则$F(x)$在$\left[ 0, 1 \right]$上连续且在$(0, 1)$内可导

  因为$f(0) = 0$，所以：

  又因为$f(1) = 1$，所以：

  则由拉格朗日中值定理可得：

  而：

  则最终可得：

• 例8：设$b \gt a \gt 0$，试证明：$\dfrac{b - a}{1 + b^2} \lt \arctan b - \arctan a \lt \dfrac{b - a}{1 + a^2}$.

  Answer

  设$f(x) = \arctan x$，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续且在$(a, b)$内可导

  根据拉格朗日中值定理可知：

  而：

  则：

  又因为：

  所以：

  则最终可得：

• 例9：求极限$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan \sin x - \tan x}{x^3}$.

  Answer

  对$f(x) = \tan x$在$\left[ \sin x, x \right]$上使用拉格朗日中值定理，则有：

  将其代入原式后：