第一节导数的概念

Tables of Content

I. 导数的定义

1.1 函数在一点处的导数

设函数 $y = f(x)$ 在 $U(x_0,\delta)$ 内有定义，若极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称此极限值为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f'(x)$ 或 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = x_0}$ ；如果该极限不存在，则称此函数在点 $x_0$ 处不可导

Tip

导数的意义：
1. 导数 $f'(x_0)$ 表示函数在点 $x_0$ 处的瞬时变化率。这意味着在 $x_0$ 附近，当自变量 $x$ 发生微小变化时，因变量 $y$ 的变化速度
2. 导数也是函数曲线在点 $x_0$ 处的切线斜率，它反映了函数在该点增长或减少的趋势
3. 在物理中，导数可以表示速度，例如： $y = f(x)$ 表示某物体的位移， $x$ 是时间，那么导数 $f'(x)$ 就是物体在某时刻的速度，即位移随时间的变化率
定义式的解释：
$y$ 的变化量与 $x$ 的变化量的比值，即 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ （ $\Delta x$ 表示 $x$ 的变化量， $\Delta y$ 表示 $y$ 的变化量），而 $y$ 的变化量可以表示为 $x$ 变化后的量所求出的函数值减去 $x$ 变化前的量所求出的函数值，以 $x$ 的变化量 $\Delta x$ 为变量，当其趋于 $0$ 时，得到如下表达式：
从另一种角度考虑，同样是 $y$ 的变化量与 $x$ 的变化量的比值，直接以 $x$ 为变量， $\Delta x = x - x_0$ ，当其趋向 $x_0$ 时，得到如下表达式：

例1：设函数 $f(x) = (e^x - 1)(e^{2x} - 2) ... (e^{nx} - n) ,\, (n \in \mathbb{Z}^+)$ ，则 $f'(0)$ 的值为何？
Answer
根据导数的定义式，求此极限：
注意其中的第一项，根据 $e^x - 1 \sim x$ ，可以将其替换为 $\Delta x$ ，然后与分母抵消，得到：
此时直接将 $\Delta x = 0$ 代入，最终可得：
例2：设 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导，则 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(a + x) - f(a - x)}{x}$ 的值为何？
Answer
首先调整这个式子：
对于第一项，显然它就是导数的定义式，故为 $f'(a)$ ，考虑第二项（设 $u = -x$ ）：
显然第二项也是导数的定义式，故其值也为 $f'(a)$ ，则最终结果为： $2f'(a)$

1.2 单侧导数

正如极限分为左右极限，由极限定义的导数同样具有左右导数之分，其左导数为：

右导数为：

1.3 函数在一点处可导的充要条件

与极限一样，导数在一点处可导的充要条件也是左导数和右导数皆存在且相等，即：

例3：函数 $f(x) = (x^2 - 4x - 5) \left| x^3 - x \right|$ 的不可导点的个数为几个？
Answer
首先对函数进行分段处理：
分别计算 $x = 1$ 、 $x = 0$ 、 $x = -1$ 三点处的左右导数：
- 当 $x = 1$ 时：
  显然可见 $f'_+(1) \neq f'_-(1)$
- 当 $x = 0$ 时：
  显然可见 $f'_+(0) \neq f'_-(0)$
- 当x = -1时：
  显然可见 $f'_+(-1) = f'_-(-1)$
综上所述，不可导点的个数为2
例4：下列函数中，在 $x = 0$ 处不可导的是哪个？
- （A） $f(x) = \left| x \right| \sin \left| x \right|$
- （B） $f(x) = \left| x \right| \sin \sqrt{\left| x \right|}$
- （C） $f(x) = \cos \left| x \right|$
- （D） $f(x) = \cos \sqrt{\left| x \right|}$
Answer
分别计算它们的左右极限：
- A：
  显然可见 $f'_+(0) = f'_-(0)$
- B：
  显然可见 $f'_+(0) = f'_-(0)$
- C：
  显然可见 $f'_+(0) = f'_-(0)$
- D：
  显然可见 $f'_+(0) \neq f'_-(0)$
综上所述，最终答案选D

II. 函数可导与连续的关系

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则其在点 $x_0$ 处必然连续；若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则其在点 $x_0$ 处不一定可导

Tip

处处连续、处处不可导的魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function）：

其中 $0 \lt a \lt 1$ ， $b$ 为正奇数，使得 $ab \gt 1 + \frac{3}{2} \pi$

例5：设函数：
在 $a$ 、 $b$ 、 $A$ 取何值时使得 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，并求 $f'(0)$ .
Answer
若要使得 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，首先需要满足 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，即：
计算它的左侧连续值：
由此可得：
已然解得 $b = A = 0$ ，接下来需要满足 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处左右导数相等，即：
计算其左侧导数：
则其右侧导数必然同为 $0$ ：
可见 $a$ 可以为任意常数， $A = b = 0$ ， $f'(0) = 0$

III. 区间可导与导函数

若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内每一点处可导，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导
若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导，且导数 $f'_+(a)$ 和 $f'_-(b)$ 都存在，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $\left[ a, b \right]$ 上可导
若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导，对于任一 $x \in (a, b)$ ，都对应着一个确定的到数值 $f'(x)$ ，则称 $f'(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的导函数， $f'(x)$ 也记作 $y'$ 、 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 或 $\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{x}$ ，导函数的定义式为：

例6：试求 $f(x) = x^a$ 的导函数 $f'(x)$ 。
Answer
根据导函数的定义式，求此极限：

IV. 导数的几何意义

$f'(x_0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率
曲线 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的切线方程是： $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
曲线 $y = f(x)$ 在点 $x = x_0$ 处的法线方程是： $y - f'(x_0) = -\dfrac{x - x_0}{f'(x_0)} ,\, (f'(x_0) \neq 0)$

例7：设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内可导，周期为 $4$ ，且：
则曲线 $y = f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率是多少？
Answer
根据导数的定义可得：
根据周期性可将此式子化为：
又因为题干所给出的条件：
则可知：
将此等价无穷小代入前式：
最终可得曲线 $y = f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率为 $-2$

V. 相关变化率

设 $x = x(t)$ 及 $y = y(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 与 $y$ 之间存在某种关系，从而变化率 $\mathrm{d} x / \mathrm{d} t$ 与 $\mathrm{d} y / \mathrm{d} t$ 之间也存在某种关系，这两个相互依赖的变化率便称为相关变化率

例8：已知一个长方形的长 $h$ 以2cm/s的速率增加，宽 $w$ 以3cm/s的速率增加，则当 $h$ = 12cm、 $w$ = 5cm时，它的对角线增加的速率是多少？
Answer
这个长方形的长 $h$ 相关于时间 $t$ 的函数为：
宽 $w$ 相关于时间 $t$ 的函数为：
对角线长度 $l$ 相关于时间 $t$ 的函数为：
根据导函数的定义求其导函数：
则当 $h = 12$ 、 $w = 5$ 时，对应的 $t = 0$ ，将其代入 $l'(t)$ 可得：
所以当 $h = 12$ 、 $w = 5$ 时，这个长方形的对角线增加的速率为3cm/s

第一节 导数的概念 ​

I. 导数的定义 ​

1.1 函数在一点处的导数 ​

1.2 单侧导数 ​

1.3 函数在一点处可导的充要条件 ​

II. 函数可导与连续的关系 ​

III. 区间可导与导函数 ​

IV. 导数的几何意义 ​

V. 相关变化率 ​