第四节 曲线的凹凸性与拐点 ​

I. 凹凸性 ​

1.1 凹凸性的定义 ​

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，对于区间$I$上任意两点$x_1$、$x_2$，若恒有：

则称函数$f(x)$在区间$I$上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有：

则称函数$f(x)$在区间$I$上的图形是（向上）凸的（或凸弧）

1.2 凹凸性的判别法 ​

设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上连续，则$(a, b)$内二阶可导，若在$(a, b)$内$f''(x) \gt 0$（或$f''(x) \lt 0$），则称在$\left[ a, b \right]$上曲线$y = f(x)$是凹（或凸）的

• 例1：判断曲线$y = \ln (x^2 + 1)$的凹凸性。

  Answer

  话不多说，直接开导：

  注意到：

  所以曲线$y = \ln (x^2 + 1)$在$\left[ -1, 1 \right]$上是凹的；在$\left[ 1, +\infty \right)$以及$\left( -\infty, -1 \right]$上是凸的

• 例2：用函数图形的凹凸性证明：$x \ln x + y \ln y \gt (x + y) \ln \dfrac{x + y}{2} \, (x \gt 0, y \gt 0, x \neq y)$.

  Answer

  设函数$f(t) = 2t \ln t$，则$f'(t) = 2 \ln t + 2$、$f''(t) = \dfrac{2}{t}$

  对于函数$f(t)$，其在$(0, +\infty)$内为凹，所以：

II. 拐点 ​

2.1 拐点的定义 ​

拐点，即连续曲线$y = f(x)$上凹弧与凸弧的分界点：$(x_0, f(x_0))$

2.2 拐点的判别法 ​

• 必要条件：设$(x_0, f(x_0))$是曲线$y = f(x)$的拐点，且$f''(x_0)$存在，则$f''(x_0) = 0$

• 第一充分条件：设$f(x)$在点$x_0$处连续，在$U^*(x_0, \delta)$内二阶可导

  若在点$x_0$的左右邻域内$f''(x)$异号，则$(x_0, f(x_0))$是曲线$y = f(x)$的拐点

• 第二充分条件：设$f(x)$在点$x_0$处三阶可导

  若在点$x_0$处$f''(x_0) = 0$、$f'''(x_0) \neq 0$，则点$(x_0, f(x_0))$是曲线$y = f(x)$的拐点

• 例3：试问：当$a, b$为何值时，使得点$(1, 3)$为曲线$y = ax^3 + bx^2 (a \neq 0)$的拐点？

  Answer

  话不多说，直接开导：

  则根据拐点的必要条件以及第二充分条件可知：

  解得：

• 例4：设函数$y = f(x)$满足$y'' + (y')^2 + y = x$，且$y(0) = y'(0) = 0$，试判断：点$(0, 0)$是否为曲线$y = f(x)$的拐点？

  Answer

  将$x = 0$代入等式$y'' + (y')^2 + y = x$可得：

  又因为$y'' = x - (y')^2 - y$，所以：

  将$x = 0$代入$y'''$可得：

  所以点$(0, 0)$就是曲线$y = f(x)$的拐点

III. 曲线的渐近线 ​

3.1 水平渐近线 ​

若$\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$（或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = a$），则$y = a$是曲线$y = f(x)$的水平渐近线

3.2 垂直渐近线 ​

若$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$（或$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$），则$x = x_0$是曲线$y = f(x)$的垂直渐近线

3.3 斜渐近线 ​

$y = kx + b$是曲线$y = f(x)$的斜渐近线，当且仅当：

• 例5：曲线$y = e^{x^{-2}} \arctan \dfrac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x - 2)}$的渐近线的条数为多少？

  Answer

  因为：

  所以$y = \dfrac{\pi}{4}$是水平渐近线；又因为：

  所以$x = 0$是垂直渐近线；又因为：

  所以没有斜渐近线；所以一共有2条渐近线

IV. 函数图形的描绘 ​

利用导数绘制函数图像的步骤如下：

1. 确定函数$y = f(x)$的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$
2. 求出一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$在函数定义域内的全部零点，并求出函数$f(x)$的间断点及$f'(x)$和$f''(x)$不存在的点，用这些点将函数划分为几个部分区间
3. 确定在这些部分区间内$f'(x)$和$f''(x)$的符号，并由此确定函数图像的升降、凹凸性和拐点
4. 确定函数图像的水平、垂直渐近线以及其他变化趋势
5. 算出$f'(x)$和$f''(x)$的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图像上相应的点；为了把函数图像绘制得更加准确，有时还需要补充其他点，然后结合第三、四步中的结果，连接这些点并最终绘制出函数$y = f(x)$的图像

V. 曲率与曲率圆 ​

5.1 曲率的定义 ​

单位弧段上切线转过的角度的大小叫做平均曲率，记作$\overline{K}$，即$\overline{K} = \left| \dfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right|$，平均曲率的极限叫做曲线$C$在点$M$处的曲率，记作$K$，即$K = \lim_{\Delta s \to 0} \left| \dfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right|$

5.2 曲率的计算公式 ​

直角坐标系下$y = f(x)$，则曲率：

若曲线由参数方程：

给出，则曲率：

5.3 曲率圆与曲率半径 ​

设曲线$y = f(x)$在点$M(x, y)$处的曲率为$K (K \neq 0)$，在点$M$处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点$D$，使$\left| DM \right| = K^{-1} = \rho$，以$D$为圆心、$\rho$为半径作圆，这个圆就叫做曲线在点$M$处的曲率圆，曲率圆的圆心$D$叫做曲线在点$M$处的曲率中心，曲率圆的半径$\rho$叫做曲线在点$M$处的曲率半径

• 例6：曲线弧$y = \sin x (0 \lt x \lt \pi)$在哪一点处的曲率半径最小？并求出该点的曲率半径。

  Answer

  曲率半径最小的点就是曲率最大的点

  根据曲率计算公式，计算曲线$y = \sin x$的曲率：

  然后计算$K'$：

  当且仅当$\cos x = 0$时$K' = 0$，所以：

  又因为：

  所以$x = \frac{\pi}{2}$是$K(x)$的极大值点，而：

  所以当$x = \frac{\pi}{2}$时，曲率$K$取得最大值，此时曲率半径$\rho = \left[ K(\frac{\pi}{2}) \right]^{-1} = 1$为最小值