第二节导数的计算

Answer

I. 导数公式

$(C)' = 0$	$(x^{\mu}) = \mu x^{\mu - 1}$
$(\sin x)' = \cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$
$(\tan x)' = \sec^2 x$	$(\cot x)' = -\csc^2 x$
$(\sec x)' = \sec x \tan x$	$(\csc x)' = -\csc x \cot x$
$(a^x) = a^x \ln a ,\, (a \gt 0, a \neq 1)$	$(e^x)' = e^x$
$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a} \, (a \gt 0, a \neq 1)$	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$	$(\mathrm{arccot} \, x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2}$

II. 导数的四则运算法则

为 常 数

例1：求下列函数的导函数：
- （1） $y = x \arcsin \frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} + \ln 2$
  Answer
- （2） $y = e^{\tan \frac{1}{x}} \cos \frac{1}{x}$
  Answer
- （3） $y = e^{\sin \frac{1}{x}} + \frac{1 + x}{1 - x} e^{\sqrt{x}}$
  Answer
- （4） $y = x^{a^a} + a^{x^a} + a^{a^x}$
  Answer

III. 反函数的求导法则

设 $y = f(x)$ 可导，且 $f(x) \neq 0$ ，则其反函数 $x = \varphi(y)$ 的导数为：

例2：设 $y = f(x)$ 具有连续的一阶导数，且其反函数为 $x = \varphi(y)$ ，若 $f(1) = 2$ 、 $f'(1) = 3$ ，则 $\varphi'(2)$ 的值为何？
Answer
由反函数的导数的求导法则可知：
又因为：
则：
所以当 $y = 2$ 时对应的 $x = 1$ ：

IV. 复合函数的求导法则

链式求导法则：设 $y = f(u)$ 、 $u = \varphi(x)$ 都可导，则 $y = f\left[ \varphi(x) \right]$ 可导，且 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \cdot \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ ，即：

例3：求下列函数的导函数：
- （1） $y = e^{\arctan \frac{x + 1}{x - 1}}$
  Answer
- （2） $y = \ln^2 \tan (x^2 + 1)$
  Answer
- （3） $y = \sin \left[ f(\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}) \right]$
  Answer
例4：已知 $y = f(\dfrac{3x - 2}{3x + 2})$ ， $f'(x) = \arctan x^2$ ，则 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$ 为何值？
Answer
根据链式法则求得 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ：
然后将 $x = 0$ 代入：

V. 隐函数的求导

设 $y = f(x)$ 由方程 $F(x, y) = 0$ 确定，在 $F(x, y) = 0$ 中视 $y$ 为 $x$ 的函数，两边同时对 $x$ 求导，即可得 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

例5：函数 $y = y(x)$ 是由方程 $xy + e^{x + y} = 2x + 1$ 所确定的隐函数，则 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$ 为何值？
Answer
两边同时对 $x$ 求导：
然后将 $x = 0$ 代入原方程求出 $y$ 的值：
最后代入 $x = 0$ 和 $y = 0$ 到 $y'$ 的表达式中：
即可得 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0} = 1$

VI. 幂指函数的求导

对于幂指函数 $y = u(x)^{v(x)} \, (u(x) \gt 0, u(x) \neq 1)$ ，若 $u(x)$ 、 $v(x)$ 均可导，常用求导方式有两种：

转换为指数恒等式 $u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}$ ，再利用复合函数的求导法则对其求导
两边取对数得 $\ln y = v(x) \ln \left[ u(x) \right]$ ，再对其两边关于 $x$ 求导

最终解得：

例6：设 $y = (1 + x^2)^{\sqrt{x}}$ ，求 $y'$ .
Answer

VII. 由参数方程所确立的函数的求导

设函数 $y = y(x)$ 由以下参数方程确立：

$x(t)$ 及 $y(t)$ 皆可导，且 $x'(t) \neq 0$ ，则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}$

例7：设函数 $y = y(x)$ 由
确立，求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .
Answer

第二节 导数的计算 ​

I. 导数公式 ​

II. 导数的四则运算法则 ​

III. 反函数的求导法则 ​

IV. 复合函数的求导法则 ​

V. 隐函数的求导 ​

VI. 幂指函数的求导 ​

VII. 由参数方程所确立的函数的求导 ​