第一节 函数 ​

I. 函数的概念 ​

1.1 函数的定义 ​

设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个给定的数集，如果对于给定的$x \in D$，变量$y$按照法则$f$总有唯一确定的值与之对应，则称$y$是$x$的函数，记作$y = f(x)$，数集$D$叫做这个函数的定义域，$x$叫做自变量，$y$叫做因变量，$R_f = \{ y | y = f(x), x \in D \}$叫做函数的值域

• 例1：已知$f(e^x) = xe^{-x}$，则$f(x)$等于_____.

  Answer

  设 $u = e^x$，则有：

  所以：

  将$u$用$x$表示可得：

• 例2：设$f(x^2 - 1) = \ln \dfrac{x^2}{x^2 - 2}$，且$f[\varphi(x)] = \ln x$，求$\varphi(x)$.

  Answer

  设 $u = x^2 - 1$，则有：

  所以：

  又因为$f[\varphi(x)] = \ln x$，则：

  解得：

• 例3：设函数$f(x)$的定义域为$(0, +\infty)$，且满足$2f(x) + x^2f(\frac{1}{x}) = \dfrac{x^2 + 2x}{\sqrt{1 + x^2}}$，求$f(x)$.

  Answer

  设$u = \frac{1}{x}$，则原方程变为：

  整理可得：

  将$u$用$x$表示后，得到式一：

  式二：

  将式一减式二可得：

  整理可得：

  最终可解得$f(x)$为：

1.2 反函数的定义 ​

设$y = f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$V_f$，对于$\forall y \in v_f$，在$D_f$上可以确定一个$x$，满足$y = f(x)$，如果把$y$看作自变量、$x$看作因变量，可得新的函数：$x = f^{-1}(y)$，则称$x = f^{-1}(y)$为$y = f(x)$的反函数，把函数$y = f(x)$成为直接函数

• 例4：已知$y = \sin x$，则其反函数为_____.

  Answer

  $y = \sin x$的反函数为：

  其定义域为：

II. 函数的基本特性 ​

2.1 有界性 ​

上界：$\exists k_1$ 使 $\forall x \in D$ 有 $f(x) \leq k_1$

下界：$\exists k_2$ 使 $\forall x \in D$ 有 $f(x) \geq k_1$

有界：$\exists M \gt 0$ 使 $\forall x \in D$ 有 $|f(x)| \leq M$

无界：$\forall M \gt 0$ 使 $\exists x_0 \in D$ 有 $|f(x_0)| \lt M$

2.2 单调性 ​

对于区间$I \subset D$内任意两点$x_1 \lt x_2$，始终存在$f(x_1) \lt f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的，反之则称$f(x)$在区间$I$上是单调递减的

2.3 奇偶性 ​

若函数$f(x)$在关于原点对称的区间$I$上满足$f(-x) = f(x)$（或$f(-x) = -f(x)$），则称之为偶函数（或奇函数）

• 例5：判定函数$f(x) = \ln (x + \sqrt{x^2 +1})$的奇偶性，并求其反函数。

  Answer

  计算$f(-x) + f(x)$：

  由此可证$f(-x) = -f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数

  
  

  设$y = f(x)$，则求$x = f^{-1}(y)$：

  故函数$f(x)$的反函数为$y = \frac{1}{2} (e^x - e^{-x})$

• 例6：判定函数$f(x) = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$的奇偶性。

  Answer

  计算$f(-x) + f(x)$：

  由此可证$f(-x) = -f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数

2.4 周期性 ​

对于函数$y = f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得对于定义域内的任意$x$均有$f(x + T) = f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数

• 例7：判断函数$f(x) = |x \sin x| e^{\cos x} (-\infty \lt x \lt \infty)$是_____.

  （A）有界函数

  （B）单调函数

  （C）周期函数

  （D）偶函数

  Answer

  • （A）

    $\forall M \in \mathbb{N}^+$，$\exists x' = 2M\pi + \frac{\pi}{2}$，则有：

    由此可证函数$f(x)$无界

  • （B）

    计算$x \in \{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi \}$的函数值：

    由此可证函数$f(x)$随着$x$的变化有增有减，并非单调函数

  • （C）

    因为$x$不具有周期性，则函数$f(x)$也不具有周期性

  • （D）

    已知$|x| = |-x|$、$|\sin x| = |\sin (-x)|$、$\cos x = \cos (-x)$，所以：

    所以$f(-x) = f(x)$，由此可证函数$f(x)$为偶函数

III. 基本初等函数 ​

3.1 幂函数 ​

一般形式：$f(x) = x^a$

3.2 指数函数 ​

一般形式：$f(x) = a^x$

3.3 对数函数 ​

一般形式：$f(x) = \log_{a} x \, (a \gt 0, a \neq 1)$

3.4 三角函数 ​

3.4.1 常见公式 ​

3.4.2 角度的和差公式 ​

3.4.3 积化和差公式 ​

3.4.4 和差化积公式 ​

设：$x = \alpha + \beta$、$y = \alpha - \beta$，则：$\alpha = \frac{x + y}{2}$、$\beta = \frac{x - y}{2}$

3.4.5 万能公式及归一化公式 ​

3.5 反三角函数 ​

IV. 其他函数类型 ​

4.1 复合函数 ​

若$y = f(u)$、$u = \varphi(x)$，当$\varphi(x)$的值域落在$f(u)$的定义域内时，称$y = f[\varphi(x)]$是由中间变量$u$复合成的复合函数

compose :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b
compose = (.)

f :: (Fractional a) => a -> a
f x = x * 2

g :: (Fractional a) => a -> a
g x = x / 2

h :: (Fractional a) => a -> a
h = f `compose` g

compose :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b
compose = (.)

f :: (Fractional a) => a -> a
f x = x * 2

g :: (Fractional a) => a -> a
g x = x / 2

h :: (Fractional a) => a -> a
h = f `compose` g

4.2 分段函数 ​

如下所示，在不同情况下应用不同的法则的函数：

• 例8：设：

  求复合函数$g \circ f$、$f \circ g$

  Answer

4.3 由参数方程确立的函数 ​

一般形式：

4.4 隐函数 ​

一般形式：

V. 练习题 ​

1. 已知$f(x) = \sin x$，$f[\varphi(x)] = 1 - x^2$，则$\varphi(x) =$_____；其定义域为_____.

   Answer

   由题可得：

   则：

   其定义域为：

2. 函数$f(x + \frac{1}{x}) = \dfrac{x + x^3}{1 + x^4}$，求$f(x)$.

   Answer

3. 判断函数$f(x) = \ln (\dfrac{1 - x}{1 + x})$的奇偶性。

   Answer

   计算$f(-x) + f(x)$：

   由此可证函数$f(x)$为奇函数

4. 判断函数$f(x) = \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})$的奇偶性。

   Answer

   计算$f(-x) - f(x)$：

   由此可证函数$f(x)$为偶函数

5. 判断函数$f(x) = x (\dfrac{1}{2^x - 1} + \dfrac{1}{2})$的奇偶性。

   Answer

   计算$f(-x)$可得：

   可见$f(-x) = f(x)$，则此函数为偶函数

6. 设$f(x)$的定义域为$R$，存在常数$c \neq 0$，使$f(x + c) = -f(x)$，试证明$f(x)$为周期函数。

   Answer

   显然可见，$f(x)$的周期$T = 2c$，

   $f(x + 2kc) = f(x), k \in \mathbb{Z}$，

   $f(x + (2k - 1)c) = -f(x), k \in \mathbb{Z}$

7. 函数$y = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1}), (x \geq 1)$的反函数是_____.

   Answer

   将此函数转换成用$x = f(y)$的形式：