第二节一阶常微分方程

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I. 变量可分离的微分方程

形如：

的微分方程，称之为变量可分离的微分方程；当 $g(y) \neq 0$ 时，通过变量分离可得：

对两边进行积分可得：

积分的结果即为此微分方程的通解

例1：求下列微分方程的通解：
1. $\displaystyle xy' - 2y \ln y = 0$
  Answer
2. $\displaystyle x(1 + y^2) \mathrm{d}x - 3y(1 + x^2) \mathrm{d}y = 0$
  Answer

形如：

的微分方程，称之为齐次微分方程；设 $u = \dfrac{y}{x}$ ，则可得到：

对其两边关于 $x$ 求导可得：

将此代入原式可得：

整理可得：

而正是变量可分离的微分方程的形式

例2：求解下列微分方程：
1. $\displaystyle y^2 + x^2 y' = xy y'$
  Answer
2. $\displaystyle (x^2 + 2xy - y^2) \mathrm{d}x + (y^2 + 2xy - x^2) \mathrm{d}y = 0$
  Answer

形如：

的微分方程，若 $Q(x) \neq 0$ 则称之为一阶非齐次线性微分方程，否之则称之为一阶齐次线性微分方程；对于一阶非齐次线性微分方程，设 $\displaystyle y = u(x) \cdot e^{-\int P(x) \mathrm{d}x}$ ，则此方程可以写成：

于是有：

最终可求得通解：

而对于一阶齐次线性微分方程，显然它正是一个变量可分离的微分方程，则有：

最终可求得通解：

例3：求解下列微分方程：
1. $\displaystyle y' + y \tan x = \sin 2x$
  Answer
2. $\displaystyle xy' \ln x + y = x(1 + \ln x)$
  Answer
例4：求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
1. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}, y|_{x = \pi} = 1$
  Answer
2. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{2 - 3x^2}{x^3} y = 1, y|_{x = 1} = 0$
  Answer

形如：

的微分方程，称之为伯努利方程；将伯努利方程的两端乘以 $(1 - \alpha) y^{-\alpha}$ 可得：

然后令 $z = y^{1 - \alpha}$ ，则：

将其代入上式可得：

这正是一阶线性微分方程的形式，求出其同解后将 $y^{1 - \alpha} = z$ 代回即可

例5：求解下列微分方程：
1. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 3xy = xy^2$
  Answer
2. $\displaystyle x \mathrm{d}y - \left[ y + xy^3 (1 + \ln x) \right] \mathrm{d}x = 0$
  Answer