第一节多元函数的基本概念

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I. 邻域的概念

这是在数轴上的邻域：

其包含所有与点 $x_0$ 的距离小于 $\delta$ 的点，而将其拓展到平面上呢？设点 $P_0(x_0, y_0)$ ，也就是包含所有与点 $P_0$ 的距离小于 $\delta$ 的点的一个集合，我们可以将它表示成这样：

同理，这是在数轴上的去心邻域：

而这是在平面上的去心邻域：

II. 二元函数的定义

设 $D$ 是平面上的一个点集，若对于任意 $(x, y) \in D$ ，变量 $z$ 按照一定法则，总有确定的值和它对应，则称变量 $z$ 是变量 $x,y$ 的二元函数，记作：

二元函数 $z = f(x, y)$ 在几何层面上一般用于表示空间直角坐标系中的一个曲面

III. 二元函数的极限

3.1 二重极限

设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某去心邻域内有定义，则：

Tip

$(x, y)$ 趋向于 $(x_0, y_0)$ 的过程中并无特定路径可寻，即 $(x, y)$ 无论沿何种路径趋于 $(x_0, y_0)$ ， $f(x, y)$ 都要趋向于 $A$
若 $(x, y)$ 沿不同路径趋于 $(x_0, y_0)$ 时， $f(x, y)$ 的极限值不同，则可证明当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时 $f(x, y)$ 的极限不存在

3.2 累次极限

即先让一个变量趋于某值（或无穷大），得到仅剩一个变量的表达式后，再对第二个变量进行极限运算，对于函数 $f(x, y)$ ，其二次极限为：

或

Tip

累次极限的值依赖于求极限的顺序，以不同的顺序进行逐次求极限所得到结果也可能不同
若有不同顺序的累次极限的值不相等，则对应的重极限的值必然不存在
当重极限的值存在时，累次极限的值若存在则必然与之相等
当任意顺序的累次极限值均存在且相等时，无法判定重极限的值也存在且相等

3.3 二重极限的运算性质

若：
则：
设：
则：
有：

Tip

二重极限的计算依然可以使用等价无穷小替换以及夹逼准则，但是无法使用洛必达法则

例1：设函数：
讨论极限 $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 是否存在
Answer
考虑点 $(x, y)$ 沿着直线 $y = kx$ 趋近于 $(0, 0)$ ，则此时的极限为：
可见在这种情况下的极限值随 $k$ 的值而变化，所以这个极限并不存在
例2：求下列极限：
1. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$
  Answer
  根据重要不等式可得：
  于是有：
  即：
  而其中：
  所以：
  则根据夹逼准则可得：
2. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 2)} \frac{\sin (xy)}{x}.$
  Answer
3. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin (xy)}{x}.$
  Answer
  注意，此处无法使用上一题的方法，因为分母乘以 $y$ 会导致 $y \neq 0$ ，这会少一条路径，所以考虑如下不等式：
  由此可得：
  而其中：
  所以：

IV. 二元函数的连续性

4.1 二元函数连续性的定义

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若：

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处连续

TIP

设：

则有：

4.2 二元函数连续性的性质

若函数 $f(x, y)$ 的在有界闭区域 $D$ 上连续，则：

有界性与最值定理：
$使得$
介值定理：
$使得$

例3：讨论此函数在 $(0, 0)$ 处的连续性：
Answer
注意这个极限：
其中：
而：
则是有界量，因此这个极限整体为：
所以 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处连续
例4：讨论此函数在 $(0, 0)$ 处的连续性：
Answer

第一节 多元函数的基本概念 ​

I. 邻域的概念 ​

II. 二元函数的定义 ​

III. 二元函数的极限 ​

3.1 二重极限 ​

3.2 累次极限 ​

3.3 二重极限的运算性质 ​

IV. 二元函数的连续性 ​

4.1 二元函数连续性的定义 ​

4.2 二元函数连续性的性质 ​