第二节 极限 ​

I. 数列的极限 ​

数列可以认为是一个定义域为正整数的函数，即：$a_n = f(n), n \in \mathbb{N}_+$

设$\{ x_n \}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n \gt N$时，以下不等式恒成立：

则称常数$a$为数列$\{ x_n \}$的极限，或称数列$\{ x_n \}$收敛于$a$，记为：

或：

也可描述为：

• 例1：若$\lim_{n \to \infty} u_n = a$，证明$\lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|$，并举例说明：如果数列$\{ \left| x_n \right| \}$有极限，数列$\{ x_n \}$未必有极限。

  Answer

  因为$u_n$的极限为$a$，则对于任意给定的正数$\epsilon \gt 0$，总存在正整数$N$，使得当$n \gt N$时，有：

  又因为：

  则对于任意的$u_n$和极限$a$，有：

  那么，既然存在$|x_n - a| \lt \epsilon$，则必然也存在：

  由此可知，对于任意给定的正数$\epsilon \gt 0$，总存在正整数$N$，使得当$n \gt N$时，有：

  即：

  反例：

  显然可见$\{ x_n \}$的值在$\pm1$之间不断交替，因此其并非收敛；而$\{ |x_n| \}$的值却总是为$1$，因此其收敛于$1$

II. 函数的极限 ​

函数极限与数列极限的关系：如果极限$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，$\{ x_n \}$为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足$x_n \neq x_0 \, (n \in \mathbb{N}_+)$，那么相应的函数值数列$\{ f(x_n) \}$必收敛，且$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{x \to x_0} f(x)$

2.1 自变量趋向于无穷时函数的极限 ​

设函数$f(x)$在$|x| \gt b \, (b \gt 0)$上有定义，如果存在常数$A$，对$\forall \epsilon \gt 0$，存在正数$X \gt b$，使得当$|x| \gt X$时，有$|f(x) - A| \lt \epsilon$，则称函数$f(x)$当$x \to \infty$时以$A$为极限，记为：

也可简单表达为：

• 例2：设$f(x) = e^x$，试判断$\lim_{x \to \infty} f(x)$是否存在？

  Answer

  小结：对于指数函数的极限，当指数部分趋近于$\infty$时，一定要分开讨论

• 例3：用定义法证明$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.

  Answer

  考虑函数$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，为了证明其极限为$0$，对于任意$\epsilon \gt 0$，需要找到正数$X \gt 0$，使得当$x \gt X$时，有：

  对于绝对值$|\dfrac{\sin x}{x}|$，因为$|\sin x| \leq 1$，则有：

  对于函数$\dfrac{1}{|x|}$，当$x \to \infty$时，函数值会无限趋近于$0$，因此存在：

  解不等式可得：

  因此，对于任意给定的$\epsilon \gt 0$，取$X = \dfrac{1}{\epsilon}$，当$x \gt X$时，有：

  由此可证：

2.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 ​

设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义（于点$x_0$可以没有定义），如果存在常数$A$，对于$\forall \epsilon \gt 0$，$\exists \delta \gt 0$，使得当$0 \lt |x - x_0| \lt \delta$时，有$|f(x) - A| \lt \epsilon$，则称函数$f(x)$当$x \to x_0$时以$A$为极限，记为：

也可简单表达为：

2.3 单侧极限 ​

设函数$f(x)$在点$x_0$的左侧邻域内有定义（于点$x_0$可以没有定义），$A$为一个常数，如果对于任意$\epsilon \gt 0$，存在$\delta \gt 0$，使得当$-\delta \lt x - x_0 \lt 0$时，有$|f(x) - A| \lt \epsilon$，则称函数$f(x)$当$x \to x_0^-$时的左极限，记为$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$

设函数$f(x)$在点$x_0$的右侧邻域内有定义（于点$x_0$可以没有定义），$A$为一个常数，如果对于任意$\epsilon \gt 0$，存在$\delta \gt 0$，使得当$0 \lt x - x_0 \lt \delta$时，有$|f(x) - A| \lt \epsilon$，则称函数$f(x)$当$x \to x_0^+$时的右极限，记为$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，即：

• 例4：求下列极限：

  • （1）

    Answer

    首先计算$x \to 0^-$时的极限：

    然后计算$x \to 0^+$时的极限：

    可见其左右极限存在但不相等，因此这个极限不存在！

  • （2）

    Answer

    首先计算$x \to 0^-$时的极限：

    然后计算$x \to 0^+$时的极限：

    可见其左右极限存在且相等，因此这个极限存在且值为$\dfrac{\pi}{2}$

III. 极限的性质 ​

1. 唯一性：若$\lim f(x)$存在，则其极限值唯一

2. （局部）有界性：若$\lim f(x) = A$，则存在一个去心邻域，在此去心邻域内$f(x)$有界

3. （局部）保号性：若$\lim f(x) = A \gt B$，则存在一个去心邻域，在此去心邻域内$f(x) \gt B$

推论：若存在一个去心邻域，在此去心邻域内$f(x) \geq B$，且$\lim f(x) = A$，则$A \geq B$

• 例5：设$\lim_{n \to \infty} a_n = a$，且$a \neq 0$，则当$n$充分大时有_____.

  • （A）$|a_n| \gt \dfrac{|a|}{2}$
  • （B）$|a_n| \lt \dfrac{|a|}{2}$
  • （C）$a_n \gt a - \dfrac{1}{n}$
  • （D）$a_n \lt a + \dfrac{1}{n}$
  Answer

  由于已知$\lim_{n \to \infty} a_n = a$，则当对于给定的$\epsilon$取值为$\dfrac{|a|}{2}$时有：

  由此便可推得：

  所以选项A成立

IV. 极限的运算法则 ​

4.1 极限的四则运算法则 ​

• 例6：设$\{ a_n \}$、$\{ b_n \}$、$\{ c_n \}$均为非负数列，且$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$、$\lim_{n \to \infty} b_n = 1$、$\lim_{n \to \infty} c_n = \infty$，则必有_____.

  • （A）$a_n \lt b_n, n \in \mathbb{N}_+$
  • （B）$b_n \lt c_n, n \in \mathbb{N}_+$
  • （C）$\lim_{n \to \infty} a_n c_n$不存在
  • （D）$\lim_{n \to \infty} b_n c_n$不存在
  Answer

  • （A）

    由题可知，$\{ a_n \}$是一个从非零值开始趋于$0$的数列，而$\{ b_n \}$是一个从非零值开始趋于$1$的数列，因此无法保证它们从头到尾都能满足$a_n \lt b_n$，反例：

    可见当$n = 1$时$a_n = b_n = 2$

  • （B）

    由题可知，$\{ b_n \}$是一个从非零值开始趋于$1$的数列，而$\{ c_n \}$是一个从非零值开始趋于$\infty$的数列，因此无法保证它们从头到尾都能满足$b_n \lt c_n$，反例：

    可见当$n = 1$时$b_n = c_n = 2$

  • （C）

    由极限的运算法则可得：

    因此这个极限是一个未定式，相乘的两方一方趋于无穷大、一方趋于无穷小，这意味着这个极限值取决于两方的变化速度

    当两方变化速度相同时结果是一个常数：

    当趋于无穷大的速度远大于趋于无穷小的速度时结果是无穷大：

    当趋于无穷小的速度远大于趋于无穷大的速度时结果是无穷小：

    因此无法保证$\lim_{n \to \infty} a_n c_n$的值一定不存在

  • （D）

    由极限的运算法则可得：

    因此$\lim_{n \to \infty} b_n c_n$的值一定为$\infty$，即不存在

• 例7：求下列极限。

  • （1）

    Answer

    通过因式分解可得：

  • （2）

    Answer

    对分子分母同除以$x^3$可得：（抓大头）

    然后将$x = \infty$代入可得：

  • （3）

    Answer

    首先通过乘以共轭的方式简化这个极限：

    化简可得：

    将分子分母同除以$x$可得：

    然后将$x = +\infty$代入可得：

  • （4）

    Answer

    对分子分母同时除以$x$可得：

    将带根式的分式项转换为根式项后得：（因为原项为负值所以转换后需要带上负号）

    对每一项抓大头后可得：

  • （5）

    Answer

    对于分子：当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x}$趋向于$+\infty$，所以$e^{\frac{1}{x}}$趋向于$+\infty$，常数项$1$可忽略，则分子近似为$-e^{\frac{1}{x}}$

    对于分母：$e^{\frac{1}{x}}$趋向于$+\infty$的速度远大于$x$趋向于$0$的速度，因此项$x$可忽略，则分母近似为$e^{\frac{1}{x}}$

    所以，最后计算这个极限可得：

4.2 复合函数极限的运算法则 ​

若$\lim_{x \to a} g(x) = u_0$且$g(x) \neq u_0$，$\lim_{u \to u_0} f(u) = A$，则$\lim_{x \to a} f\left[ g(x) \right] = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$

• 例8：已知$\lim_{x \to 0} \dfrac{f(3x)}{x} = 2$，求$\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(2x)}$.

  Answer

  思路：通过换元求出$f(u) / u$的极限值

  已知：

  设$u = 3x$，则：

  由此可得：

  接下来，设$u = 2x$，则：

• 例9：设函数：

  求$\lim_{x \to 0} g\left[ f(x) \right]$.

  Answer

  首先计算内层函数在$x \to 0$时的极限：

  由此可得：（设$u = f(x)$）

V. 极限存在的两个准则 ​

5.1 夹逼准则 ​

设$I$为包含某点$a$的区间，且函数为$f(x)$、$g(x)$、$h(x)$定义在$I$上且可能不包含点$a$的函数。若对于所有属于$I$而不等于$a$的$x$，有：

1. $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
2. $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$

则函数$f(x)$的极限存在，且也为$L$，而函数$g(x)$、$h(x)$分别称为$f(x)$的下界与上界

• 例10：求极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}$，其中$a_i \gt 0 \, (i \in\{ 1, 2, ..., m \})$.

  Answer

  设一个最大值$M$：

  则：

  且因为至少有一个$a_i = M$，则：

  所以存在不等式：

  求上界的极限可得：

  求下界的极限可得：

  则根据夹逼准则可得：

• 例11：求极限$\lim_{n \to \infty} \left[ \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right]$.

  Answer

  设数列$a_n$：

  首先找出$a_n$中最大的一项：

  其次找出$a_n$中最小的一项：

  又因为$a_n$这个多项式共有$n$项，因此必然存在不等式：

  求上界的极限可得：

  求下界的极限可得：

  则根据夹逼准则可得：