第一节 常微分方程的基本概念 ​

I. 常微分方程 ​

微分方程，即表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程

II. 常微分方程的阶 ​

形如：

或是：

这样的方程，其含有的未知函数的导数中的最高的阶数即称之为微分方程的阶

1. $n$阶线性微分方程：（其中$a_i(x)$与$f(x)$均为已知函数）

   • 若$f(x) \neq 0$，则称该方程为$n$阶非齐次线性微分方程
   • 若$f(x) = 0$，则称该方程为$n$阶齐次线性微分方程

2. $n$阶常系数线性微分方程：（其中$a_i$为常数且$f(x)$为已知函数）

   • 若$f(x) \neq 0$，则称该方程为$n$阶常系数非齐次线性微分方程
   • 若$f(x) = 0$，则称该方程为$n$阶常系数齐次线性微分方程

III. 常微分方程的解 ​

解：若函数$\varphi(x, y) = 0$使得微分方程：

则称$\varphi(x, y) = 0$为该方程的解，且$\varphi(x, y) = 0$也称为此微分方程的隐式解，若将$\varphi(x, y) = 0$写成$y = y(x)$的形式，则称之为微分方程的显式解

通解：若解中所含有的独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为通解

初始条件：为求得通解中任意常数的具体值所给出的条件，称之为初始条件

特解：即通过初始条件去掉了任意常数的通解，也是不含任意常数的解