第二节 偏导数与全微分 ​

I. 偏导数 ​

1.1 偏导数的定义 ​

设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$，而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量：

如果：

存在，则称此极限为函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数，记作：

类似地，函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数定义为：

记作：

• 例1：设函数$f(x, y) = e^{\pi y} + (x - 1) \arctan \sqrt{\dfrac{x}{y}}$，求$f_x'(1, 1)$与$f_y'(1, 1)$.

  Answer

  定义法：

  代入法：

• 例2：设$f(x, y) = xy + x^2 + y^3$，求$f_x'(0, 1)$、$f_x'(1, 0)$、$f_y'(0, 2)$、$f_y'(2, 0)$.

  Answer

  定义法：

  偏导函数法：

• 例3：设$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$，试判断$f(x, y)$在$(0, 0)$处是否连续、偏导数是否存在？

  Answer

• 例4：设：

  试判断$f(x, y)$在点$(0, 0)$处是否连续、偏导数是否存在？

  Answer

1.2 高阶偏导数 ​

设函数$z = f(x, y)$在区域$D$内具有偏导数：

于是在$D$内$f_x'(x, y)$、$f_y'(x, y)$都是关于$x$、$y$的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么便称其为函数$z = f(x, y)$的二阶偏导数，记作：

其中$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$和$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$是$z = f(x, y)$的两个二阶混合偏导数、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$和$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}$是$z = f(x, y)$的两个二阶纯偏导数

• 例5：设$z = x^3 y^2 - 3x y^3 - xy + 1$，求$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}$、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$.

  Answer

• 例6：验证函数$z = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$满足方程$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$.

  Answer

II. 全微分 ​

2.1 全微分的定义 ​

设$z = f(x, y)$在$U(x_0, y_0)$上有定义，且$(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \in U(x_0, y_0)$，若：

则称$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，且线性主部$A \Delta x + B \Delta y$称为$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处的全微分，记作：

2.2 可微的条件 ​

2.2.1 可微的必要条件 ​

1. 若$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则它必然也在点$(x_0, y_0)$处连续

   Proof

   因为$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，所以：

   对两边同时取极限可得：

   然后进行换元：

   所以最终可得：

2. 若$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$A = f_x'(x_0, y_0)$、$B = f_y'(x_0, y_0)$

   Proof

   因为$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，所以：

   当$\Delta y = 0$时可得：

   同时除以$\Delta x$并取极限可得：

   于是同理可得：

2.2.2 可微的充分条件 ​

若$f_x'(x, y)$、$f_y'(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处连续，则$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微

2.2.3 可微的充要条件 ​

2.3 多元函数连续、偏导存在、可微之间的关系 ​

• 例7：设函数：

  则在点$(0, 0)$处函数$f(x, y)$满足：

  • A：不连续
  • B：连续但偏导数不存在
  • C：连续且偏导数存在但不可微
  • D：可微
  Answer

  • 连续性的判定：

    因为存在以下不等式：

    所以：

    又因为：

    所以最终可得：

  • 偏导数存在性的判定：

    因此，两个偏导数皆存在

  • 可微性的判定：

    使用可微的充要条件：

    显然并不可微

  所以最终选C

• 例8：设函数：

  讨论$f(x, y)$在点$(0, 0)$处的可微性

  Answer

  首先求出两个偏导数的值：

  然后考虑可微的充要条件：

  对于这个极限，考虑以下不等式：

  又因为：

  所以根据夹逼准则可得：

  因此$f(x, y)$在点$(0, 0)$处可微

• 例10：已知二元函数$f(x, y)$一阶偏导数连续，若函数$z = f(x, y)$满足$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x + y$，且$f(x, 0) = x$、$f(0, y) = y^2$，求$f(x, y)$.

  Answer