第二节不定积分的基本积分法

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I. 换元积分法

1.1 第一类换元积分法（凑微分法）

设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数， $u = \varphi(x)$ 可导，则：

Tip

关键在于将积分变量 $x$ 的微分 $\mathrm{d}x$ 凑成中间变量 $g(x)$ 的微分 $\mathrm{d}g(x)$
被积函数中存在两个函数且两个函数存在“导数关系”

例1：求下列不定积分：
1. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(1 + 2\ln x)}$
  Answer
2. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} (a \neq 0)$
  Answer
3. $\int \sin^3 x \mathrm{d}x$
  Answer
4. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1 + x)}} (x \gt 0)$
  Answer
5. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \mathrm{d}x$
  Answer
6. $\int \dfrac{1}{x^2 - a^2} \mathrm{d}x$
  Answer
7. $\int \dfrac{1}{x^2 + a^2} \mathrm{d}x$
  Answer
8. $\int \dfrac{1}{x^2 + 8x + 25} \mathrm{d}x$
  Answer
9. $\int f(ax^n + b) \cdot x^{n - 1} \mathrm{d}x$
  Answer
  设 $F'(x) = f(x)$
10. $\int \dfrac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} \mathrm{d}x$
  Answer

1.2 第二类换元积分法

设 $x = \varphi(t)$ 是单调、可导函数，若 $\varphi'(t) \neq 0$ ，则有：

Tip

整体代换：被积函数中含有 $\sqrt[n]{ax + b}$ 或 $\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}$ 时，令 $t$ 等于根式整体
三角代换：被积函数中含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 、 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 、 $\sqrt{x^2 + a^2}$ 时，令 $x$ 变为关于 $t$ 的三角函数的形式，以去除根号
$然后遵从上式$
倒数代换：当 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 且 $P(x)$ 次幂低于 $Q(x)$ 次幂时，令 $x = \dfrac{1}{t}$
其他代换：如 $a^x = t$ 、 $\arcsin x = t$ 、 $\arctan x = t$ 等

例2：求下列不定积分：
1. $\int \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} \mathrm{d}x$
  Answer
2. $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(x^5 + 1)}$
  Answer
3. $\int \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1} \mathrm{d}x$
  Answer
4. $\int \sqrt{a^2 - x^2} \mathrm{d}x \, (a \gt 0)$
  Answer
5. $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \mathrm{d}x$
  Answer
6. $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \mathrm{d}x$
  Answer

II. 分部积分法

设 $u = u(x)$ 、 $v = v(x)$ 均有连续的导数，则：

或：

例3：求下列不定积分：
1. $\int x \arctan x \mathrm{d}x$
  Answer
2. $\int x^2 \ln x \mathrm{d}x$
  Answer
3. $\int e^x \cos x \mathrm{d}x$
  Answer
  由此可知：
  则：
  则：
4. $\int e^{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$
  Answer
例4：设 $f(\ln x) = \dfrac{\ln (1 + x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d}x$ .
Answer
设 $t = \ln x$ ，则 $x = e^t$ ，则：
将 $f(x)$ 代入不定积分：