第三节 偏导数的求导法则 ​

I. 多元复合函数的求导法则 ​

1.1 当多元函数与一元函数复合时 ​

若函数$u = \varphi(t)$、$b = \psi(t)$都在点$t$处可导，函数$z = f(u, v)$在对应点$(u, v)$具有连续偏导数，则复合函数$z = f\left[ \varphi(t), \psi(t) \right]$在点$t$处可导，且有：

1.2 当多元函数与多元函数复合时 ​

若函数$u = \varphi(x, y)$与$v = \psi(x, y)$均在点$(x, y)$处具有对$x$以及对$y$的偏导数，函数$z = f(u, v)$在对应点$(u, v)$处具有连续偏导数，则复合函数$z = f\left[ \varphi(x, y), \psi(x, y) \right]$在点$(x, y)$的两个偏导数均存在，且有：

1.3 当多元函数与一元及多元函数复合时 ​

若$u = \varphi(x, y)$在点$(x, y)$处具有对$x$及对$y$的偏导数、函数$v = \psi(y)$在点$y$处可导、函数$z = f(u, v)$在对应点$(u, v)$处具有连续的偏导数，则复合函数$z = f\left[ \varphi(x, y), \psi(y) \right]$在点$(x, y)$处的两个偏导数皆存在，且有：

• 例1：设$u = f(x, y, z) = e^{x^2 + y^2 + z^2}$，而$z = x^2 \sin y$，求$\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial u}{\partial y}$.

  Answer

• 例2：设$z = f(2x - y, x \sin y) + xg(e^y \ln x)$，其中$f$具有二阶连续偏导数，$g$具有二阶导数，求$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.

  Answer

II. 全微分形式不变性 ​

若函数$z = f(u, v)$可微，则有：

而当$u = u(x, y)$、$v = v(x, y)$时，此时的$u$、$v$为中间变量，则：

由此可见，无论$u$、$v$是自变量还是中间变量，函数$z = f(u, v)$的全微分形式都是一样的，此即全微分形式不变性

• 例3：设$z = e^u \sin v, u = xy, v = x + y$，求$\mathrm{d}z$.

  Answer

III. 隐函数的存在定理 ​

3.1 一个二元方程的情况 ​

对于方程$F(x, y) = 0$，若满足以下三条：

1. $F(x, y)$在$U(x_0, y_0)$有一阶连续偏导数
2. $F(x_0, y_0) = 0$
3. $F_y'(x_0, y_0) \neq 0$

则方程$F(x, y) = 0$在$U(x_0)$上唯一确定一个具有连续导数的函数$y = y(x)$，且：

• 例4：设$y = y(x)$由方程$x^2 + y^2 - \sin (xy) = 0$所确定，试求$y'(x)$.

  Answer

3.2 一个三元方程的情况 ​

对于方程$F(x, y, z) = 0$，若满足以下三条：

1. $F(x, y, z)$在$U(x_0, y_0, z_0)$具有一阶连续偏导数
2. $F(x_0, y_0, z_0) = 0$
3. $F_z'(x_0, y_0, z_0) \neq 0$

则方程$F(x, y, z) = 0$在$U(x_0, y_0)$上唯一确定一个具有连续偏导数的函数$z = z(x, y)$，且：

• 例5：设$e^{-xy} - 2z + e^z = 0$，求$\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$.

  Answer

• 例6：设有三元方程$xy - z \ln y + e^{xz} = 1$，根据隐函数存在定理，存在点$(0, 1, 1)$的一个邻域，在此邻域内该方程可以确定几个具有连续偏导数的隐函数？

  Answer

3.3 两个四元方程的情况 ​

设函数$F(x, y, u, v)$和$G(x, y, u, v)$在点$P(x_0, y_0, u_0, v_0)$的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又：

且：

在点$P(x_0, y_0, u_0, v_0)$处不等于零，则方程组：

在点$P(x_0, y_0, u_0, v_0)$的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数：

且它们满足条件：

并有：

• 例7：设：

  求$\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$.

  Answer

  设函数：

  则有方程组：

  对方程两边分别关于$x$求偏导可得：

  解得：

  即：