第二节 反常积分 ​

I. 无穷限的反常积分 ​

1.1 无穷限反常积分的定义 ​

若函数$f(x)$在无穷区间$\left[ a, +\infty \right)$上有定义，在任何有限区间$\left[ a, b \right]$上可积（$a \lt b$），如果极限$\displaystyle \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x)$存在，则称该极限值为$f(x)$在区间$\left[ a, +\infty \right)$上的反常积分的值，记作：

此时也称上述反常积分存在或收敛，若上述极限不存在，则称反常积分$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$发散，同理也可定义：

以及：（其中$c \in (-\infty, +\infty)$）

1.2 无穷限反常积分的计算 ​

根据牛顿·莱布尼茨公式，设$F'(x) = f(x)$，可知：

• 例1：试判断$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x$的收敛性.（“$p$积分”）

  Answer

  首先求出被积函数的原函数：（$p \neq 1$）

  然后考虑这个极限：

  • 当$p \gt 1$时：

    则此时此反常积分为收敛；

  • 当$p \lt 1$时：

    则此时此反常积分为发散；

  而当$p = 1$时：

  考虑这个极限：

  所以，最终总结可得：当$p \leq 1$时，此反常积分为发散；当$p \gt 1$时，此反常积分为收敛。

• 例2：讨论$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^p x} \mathrm{d}x$的敛散性，其中$p$为任意实数.

  Answer

• 例3：求$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x$.

  Answer

• 例4：计算反常积分$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} te^{-pt} \mathrm{d}t \, (p \gt 0)$.

  Answer

1.3 无穷限反常积分敛散性的判定 ​

对于反常积分$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x ,\, f(x) \geq 0$，其收敛性主要取决于当$x \to +\infty$时，$f(x) \to 0$的速度，趋于$0$的速度越快则此反常积分的收敛性越强，反之越弱；

比较判别法：设$f(x)$在$\left[ a, +\infty \right)$上连续，且$\forall x \in \left[ a, +\infty \right)$有$0 \leq f(x) \leq g(x)$，则：

1. 若$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$收敛，则$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$收敛：“大敛则小敛”
2. 若$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$发散，则$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$发散：“小散则大散”

比较判别法的极限形式：设$g(x) = \dfrac{1}{x^p}$，则：

• 例5：判定反常积分$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x^4 + 1}}$的敛散性

  Answer

  因为：

  而且：

  所以：

• 例6：判定反常积分$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\ln (1 + x)} \mathrm{d}x$的敛散性

  Answer

  设$g(x) = \dfrac{1}{x}$，则反常积分$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$发散，考虑此极限：

  因此，当$p = 1$时，极限值为$+\infty$，可判定此反常积分为发散

• 例7：判定反常积分$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 \mathrm{d}x$的敛散性

  Answer

II. 无界函数的反常积分 ​

2.1 瑕积分的定义 ​

瑕点：若$f(x)$在点$x_0$的任一邻域内均无界，则称$x_0$为$f(x)$的瑕点

若$x = a$为函数$f(x)$的瑕点，且$f(x)$在$\left( a, b \right]$上连续，则$\forall t \in (a, b)$，称：

为$f(x)$在$\left( a, b \right]$上的瑕积分，设$F'(x) = f(x)$，记作：

2.2 瑕积分的计算 ​

若函数$f(x)$在$\left( a, b \right]$上连续，且$x = a$为$f(x)$的瑕点，设$F'(x) = f(x)$，则有：

例8：设$a \lt b$，对于反常积分$\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{(x - a)^q}$，试证明：（“$q$积分”）

1. 若$0 \lt q \lt 1$，则此反常积分收敛；

   Answer

   此时此瑕积分的值为一个常数，显然此时其为收敛

2. 若$q \geq 1$，则此反常积分发散；

   Answer

   让我们直接快进到极限环节：（当$q \neq 1$时）

   考虑其中的极限：

   显然此时这个瑕积分是发散的；继续考虑当$q = 1$时的情况：

   显然此时这个瑕积分也是发散的，所以综合两种情况可以知道：当$q \geq 1$时，$\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - a)^q} \mathrm{d}x$是发散的

2.3 瑕积分的敛散性的判定 ​

若函数$f(x)$在$\left( a, b \right]$上连续，且$x = a$为$f(x)$的瑕点，设$F'(x) = f(x)$，对于：

若$\displaystyle \lim_{t \to a^+} f(t)$存在，则此瑕积分收敛，否则发散；若$f(x) \geq 0$，则其敛散性主要取决于当$x \to a^+$时$f(x)$趋于$+\infty$的速度，速度越快则收敛性越弱，反之则越强；

比较判别法：设$f(x)$、$g(x)$在$\left( a, b \right]$上连续，$x = a$为瑕点且$\forall x \in \left( a, b \right]$有$0 \leq f(x) \leq g(x)$，则：

1. 若$\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x$收敛，则$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$也收敛（“大敛则小敛”）
2. 若$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$发散，则$\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x$也发散（“小散则大散”）

比较判别法的极限形式：设$g(x) = \dfrac{1}{(x - a)^q}$，则：

• 例9：试判断$\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{d}x$的敛散性

  Answer

  设$g(x) = x^{-\frac{1}{2}}$，则有：

  即可根据比较判别法的极限形式判断出$\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{d}x$是发散的

• 例10：计算下列反常积分：

  1. $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left| x - x^2 \right|}}$.

     Answer

     考虑这个方程：

     即：

     于是可以写出被积函数$f(x)$的表达式：

     又因为：

     所以$x = 0$和$x = 1$是$f(x)$的瑕点，据此我们可以将这个反常积分进行拆分：

  2. $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1 + x) \sqrt{x}}$.

     Answer