第三节 定积分的应用 ​

I. 定积分的元素法 ​

已知$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i$，其中$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，记$\displaystyle \lambda = \max_{1 \leq i \leq n} \{ \Delta x_i \}$

可利用定积分解决的整体量$U$需要满足：

1. $U$与$x \in \left[ a, b \right]$相关
2. $U$可分割为部分量$\Delta U_i$（$1 \leq i \leq n$），且$U = \sum \Delta U_i$，以及$\Delta U_i \approx f(\xi_i) \Delta x_i$
3. 若$\forall x \in \left[ a, b \right]$有$x + \mathrm{d}x \in \left[ a, b \right]$，则在$\left[ x, x + \mathrm{d}x \right]$上$U$的元素$f(x) \mathrm{d}x = \mathrm{d}u$

于是有：

II. 平面图形的面积 ​

2.1 直角坐标系的情况 ​

由曲线$y = f(x)$、$y = g(x)$与直线$x = a$、$x = b$（$a \lt b$）所围成的平面图形的面积为：

• 例1：求由曲线$y = \ln x$与两直线$y = -x + e + 1$及$y = 0$所围成的平面图形的面积

  Answer

• 例2：求由抛物线$y^2 = 2x$和直线$y = x - 4$所围成的平面图形的面积

  Answer

2.2 参数方程的情况 ​

若曲线$y = y(x)$由参数方程：

所确立，且$\varphi(\alpha) = a$、$\varphi(\beta) = b$，则由曲线$y = y(x)$、直线$x = a$和$x = b$以及$x$轴所围成的图形的面积为：

2.3 极坐标系的情况 ​

在极坐标系下，曲线$\rho = \rho(\theta)$由：

所确立，则由曲线$\rho = \rho(\theta)$及射线$\theta = \alpha$、$\theta = \beta$（$\alpha \lt \beta$）所围成的曲边扇形的面积为：

• 例3：求由曲线$\rho = a \sin \theta$及$\rho = a(\cos \theta + \sin \theta) \, (a \gt 0)$所围图形公共部分的面积

  Answer

  通过$r^2 = x^2 + y^2$、$\sin \theta = \dfrac{y}{r}$以及$\cos \theta = \dfrac{x}{r}$可知：

  即：

• 例4：求由曲线$\rho = 3 \cos \theta$和$\rho = 1 + \cos \theta$所围成的图形的公共部分的面积

  Answer

III. 体积和侧面积 ​

3.1 旋转体的体积 ​

设函数$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积，且由曲线$y = f(x)$和直线$x = a$、$x = b$以及$x$轴所围成的图形为$D$，则有：

1. 若$D$绕$x$轴旋转一周，则产生的旋转体的体积为：

   Proof

   圆盘法：将区间$\left[ a, b \right]$平均分为$n$份，则有：

   1. 设每一份的宽：$w = \frac{b - a}{n}$
   2. 设第$i$个小区间的起点：$s_i = a + (i - 1)w$
   3. 设第$i$个小区间的终点：$e_i = s_i + w = a + iw$
   4. 则第$i$个小区间可以表示为：$\left[ s_i, e_i \right]$
   5. 则第$i$个小区间内近似形成的小矩形的高：$h_i = f(s_i)$
   6. 则由第$i$个小矩形绕$x$轴一圈所形成的旋转体的体积：$V_i = \pi h_i^2 w$（以$h_i$为半径、$w$为高的圆柱体）

   于是可以将$D$绕$x$轴旋转一圈所形成的旋转体的体积表示为：

2. 若$D$绕$y$轴旋转一周，则产生的旋转体的体积为：

   Proof

   柱壳法：将区间$\left[ a, b \right]$平均分为$n$份，则有：

   1. 设每一份的宽：$w = \frac{b - a}{n}$
   2. 设第$i$个小区间的起点：$s_i = a + (i - 1)w$
   3. 设第$i$个小区间的终点：$e_i = s_i + w = a + iw$
   4. 则第$i$个小区间可以表示为：$\left[ s_i, e_i \right]$
   5. 则第$i$个小区间内近似形成的小矩形的高：$h_i = f(s_i)$
   6. 则由第$i$个小矩形绕$y$轴一圈所形成的旋转体的体积：$V_i = e_i^2 \pi h_i - s_i^2 \pi h_i$（由大圆柱体的体积减去小圆柱体的体积得到）

   于是可以将$D$绕$y$轴旋转一圈所形成的旋转体的体积表示为：

   考虑第二个极限，由于$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上可积，所以其中存在一个标准的黎曼和形式：

   而当$n \to \infty$时，$w \to 0$，则此极限值为零；然后再考虑第一个极限，它也是一个标准的黎曼和形式，则有：

• 例5：求椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$所围成的图形绕$x$旋转一周所形成的旋转体的体积

  Answer

• 例6：求圆盘$(x - 2)^2 + y^2 \leq 1$绕$y$轴旋转而成的旋转体的体积

  Answer

3.2 立体的体积 ​

已知立体，设该立体在过点$x = a$、$x = b$且垂直于$x$轴的两个平面之间，以$S(x)$表示过点$x$且垂直于$x$轴的截面面积，则该立体的体积为：

• 例7：计算底面是半径为$R$的圆、且垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积

  Answer

3.3 旋转体的侧面积 ​

由曲线$y = f(x)$与直线$y = 0$、$x = a$、$x = b$所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周，生成的旋转体的侧面积为：

由连续曲线$x = \varphi(y)$与直线$x = 0$、$y = c$、$y = d$（$c \lt d$）所围成的平面图形绕$y$轴旋转一周，形成的旋转体的侧面积为：

• 例8：求曲线$y = 2 \sqrt{x} \, (0 \leq x \leq 3)$绕$x$轴旋转一周所得曲面的面积

  Answer

IV. 平面曲线的弧长 ​

对于曲线$y = f(x)$，其弧微分为：

1. 曲线$y = f(x)$在$a \leq x \leq b$时的弧段的弧长为：

2. 曲线$\{ x = x(t), y = y(t)$在$\alpha \leq t \leq \beta$时的弧段的弧长为：

3. 曲线$\rho = \rho(\theta)$在$\alpha \leq \theta \leq \beta$时的弧段的弧长为：

• 例9：求曲线$y = \displaystyle \int_{0}^{x} \tan t \mathrm{d}t (0 \leq x \leq \frac{\pi}{4})$的弧长

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V. 函数的平均值 ​

设$y = f(x)$是$\left[ a, b \right]$上的连续函数，则$f(x)$在$\left[ a, b \right]$上的平均值定义为：

• 例10：求函数$y = \sqrt{1 - \sin x}$在区间$\left[ 0, \pi \right]$上的平均值

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