第五节差分方程

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I. 差分方程的基本概念

差分：将函数 $y = f(x)$ 简记为 $y_x$ ， $x$ 取遍非负整数时的函数值构成一个数列：

称

为 $y_x$ 的一阶差分；称：

为 $y_x$ 的二阶差分，依此类推可定义出二阶以上的高阶差分

差分方程：形如：

的方程，称为差分方程

差分方程的阶：方程中未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶

差分方程的解：

形如：

的方程，称之为一阶常系数线性微分方程；

当 $f(x) = 0$ 时，称其为齐次的，其通解为 $y_x = C a^x$ ；

当 $f(x) \neq 0$ 时，称其为非齐次的，其通解为 $y_x = C a^x + y_x^*$ ，根据 $f(x)$ 的形式， $y_x^*$ 可依照下表写出：

$f(x)$ 的形式	$y_{x + 1} - a y_x = f(x)$ 的特解 $y_x^*$
$b^x P_m(x)$	当 $a \neq b$ 时， $y_x^* = b^x Q_m(x)$
$b^x P_m(x)$	当 $a = b$ 时， $y_x^* = xb^x Q_m(x)$
$P_m(x) \sin \alpha x$	$y_x^* = Q_m(x) \sin \alpha x + R_m(x) \cos \alpha x$
$P_m(x) \cos \alpha x$	$y_x^* = Q_m(x) \sin \alpha x + R_m(x) \cos \alpha x$

例1：求差分方程 $y_{x + 1} - 2y_x = 2^x$ 的通解
Answer
根据右侧 $f(x)$ 的形式，可以将特解设为：
然后代入原差分方程可得：
于是可以得到通解为：
例2：求差分方程 $y_{x + 1} - y_x = x2^x$ 的通解
Answer
根据右侧 $f(x)$ 的形式，可以将特解设为：
然后代入原差分方程可得：
于是可以得到通解为：
例3：求差分方程 $y_{x + 1} - y_x = 3^x \sin \dfrac{\pi}{2} x$ 的通解
Answer
根据右侧 $f(x)$ 的形式，可以将特解设为：
然后代入原差分方程可得：
于是有：
解得：
于是可以得到通解为：