第四节 多元函数的极值及其求法 ​

I. 多元函数的极值 ​

1.1 极值的概念 ​

设函数$z = f(x, y)$在$U(x_0, y_0)$上有定义，若：

则称$f(x_0, y_0)$为极大值；若：

则称$f(x_0, y_0)$为极小值

• 例1：设$f(x, y)$在点$(0, 0)$的邻域内连续，若：

  则_____.

  • A：点$(0, 0)$不是$f(x, y)$的极值点
  • B：点$(0, 0)$是$f(x, y)$的极大值点
  • C：点$(0, 0)$是$f(x, y)$的极小值点
  • D：无法判断点$(0, 0)$是否为$f(x, y)$的极值点
  Answer

  因为$f(x, y)$在$U(0, 0)$上连续，所以：

  又根据极限的保号性可知：

  且此时：

  所以$f(0, 0)$为极大值，故选B

1.2 极值的必要条件 ​

设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处具有偏导数，且在点$(x_0, y_0)$处有极值，则有：

即：可偏导函数在极值点处的偏导数必为零

1.3 极值的充分条件 ​

设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某邻域内具有二阶连续偏导数，且：

令：

则有：

• 例2：设函数$f(x)$、$g(x)$均有二阶连续导数，且：

  则函数$z = f(x) \cdot g(y)$在点$(0, 0)$处取得极小值的一个充分条件是_____.

  • A：$f''(0) \lt 0, g''(0) \gt 0$
  • B：$f''(0) \lt 0, g''(0) \lt 0$
  • C：$f''(0) \gt 0, g''(0) \gt 0$
  • D：$f''(0) \gt 0, g''(0) \lt 0$
  Answer

  已知：

  则它的一阶偏导数为：

  它的二阶偏导数为：

  根据极值的充分条件，需要满足：

  即：

  可推得：

  故选A

• 例3：求函数$f(x, y) = xe^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$的极值

  Answer

  首先计算出一阶偏导数：

  然后找出$f(x, y)$的驻点：

  然后计算出二阶偏导数：

  根据极值的充分条件对$(1, 0)$和$(-1, 0)$两个点进行校验：

  故$(1, 0)$和$(-1, 0)$均为极值点，且：

II. 条件极值与拉格朗日乘数法 ​

条件极值，即目标函数$z = f(x, y)$在条件$\varphi(x, y) = 0$下的极值；其求法为，设函数：

然后求解方程组：

所得到的点$(x, y, z)$就是可能的极值点

III. 连续函数在有界闭区域上的最值问题 ​

设函数$f(x, y)$在有界闭区域$D$上连续，则求$f(x, y)$在$D$上最值的步骤为：

1. 求出$f(x, y)$在$D$上可能的极值点（即驻点和偏导数不存在的点）
2. 求出$f(x, y)$在$D$边界上的最大值与最小值（求法参考条件极值）
3. 比较前两步得出的各点处函数值

这样，最后比较出来的最小的函数值便是最小值，最大的函数值便是最大值

• 例4：求函数$f(x, y, z) = xyz$在约束条件$x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = 1 \, (x \gt 0, y \gt 0, z \gt 0)$下的最小值

  Answer

  设函数：

  然后求解方程组：

  于是可解得：

  代入约束式可得：

  于是这个最小值为：

• 例5：求函数$f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x^2y^2$在区域$D = \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leq 4, y \geq 0 \}$上的最大值和最小值

  Answer

  • 区域$D$边界处的最大值与最小值：

    区域$D$的边界由：

    和：

    组成，首先设：

    找出$g_1'(x) = 0$的点：

    再分别计算每个可能的点对应的函数值：

    其次设：

    找出$g_2'(x) = 0$的点：

    再分别计算出每个可能的点对应的函数值：

  • 区域$D$内的最大值与最小值：

    首先计算出驻点：

    解得：

    再计算出所对应的$f(x, y)$的值：

  最后通过比较可得：最大值为$8$，最小值为$0$