第三节 可降阶的高阶微分方程 ​

I. $y^{(n)} = f(x)$型 ​

对两边分别进行$n$次积分即可得到通解

• 例1：求解微分方程$y''' = e^{2x} - \cos x$.

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II. $y'' = f(x, y')$型 ​

进行变量代换，令$y' = p(x)$，则$y'' = p'$，于是原方程变为：

这是一个关于变量$x$、$p$的一阶微分方程

• 例2：求解微分方程$\displaystyle y'' = \frac{2xy'}{1 + x^2}$.

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• 例3：求解微分方程$\displaystyle y'' - \frac{y'}{x} = x$.

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III. $y'' = f(y, y')$型 ​

设$y' = p(y)$，则$y'' = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，于是有：

这是一个关于变量$y$、$p$的一阶微分方程

• 例4：求解微分方程\displaystyle yy'' - 2y'^2 = 0.

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• 例5：求解微分方程$\displaystyle y'' = (y')^3 + y'$.

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