第一节不定积分的概念与性质

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I. 原函数与不定积分

1.1 原函数的概念

若 $\forall x \in I$ 有 $F'(x) = f(x)$ 或 $\mathrm{d}F(x) = f(x)\mathrm{d}x$ ，则称 $f(x)$ 为 $F(x)$ 的导函数， $F(x)$ 称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数

Tip

原函数存在定理：

连续函数必有原函数（反之并不成立）
函数存在第一类间断点时一定没有原函数；存在第二类间断点时未必没有原函数

例1：设 $f(x)$ 的一个原函数为 $3^x$ ，则 $f'(x)$ 为_____.
Answer
已知 $(3^x)' = f(x)$ ，则 $f'(x) = (3^x)''$ ，即：
例2：当 $x \in (0, 1)$ 时，试证明：函数 $\arcsin (2x - 1)$ 、 $\arccos (1 - 2x)$ 、 $2 \arctan \sqrt{\dfrac{x}{1 - x}}$ 都是 $\dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}$ 的原函数。
Answer
话不多说，直接对着就是导：
显然可见，这哥仨导完都是 $\dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}$ ，所以它们都是 $\dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}$ 的原函数
例3：设函数 $f(x) = \dfrac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} +1}$ ，
则在区间 $(-1, 1)$ 内：
- （A） $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
- （B） $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
- （C） $f(x)$ 存在原函数， $g(x)$ 不存在原函数
- （D） $f(x)$ 不存在原函数， $g(x)$ 存在原函数
Answer
对于函数 $f(x)$ ：
显然可见，因为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$ ，所以 $x = 0$ 是第一类间断点，所以 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 内不存在原函数；
对于函数 $g(x)$ ：
显然可见，因为 $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0) = 0$ ，所以 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以 $g(x)$ 在 $(-1, 1)$ 内存在原函数；所以最终选D

1.2 不定积分的概念

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x) \mathrm{d}x$ ，其中记号 $\int$ 为积分符号， $f(x)$ 为被积函数， $f(x) \mathrm{d}x$ 为被积表达式， $x$ 为积分变量，即：

Tip

若 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是函数 $f(x)$ 的原函数，则 $F(x)$ 与 $G(x)$ 之间相差一个常数

Proof

设 $H(x) = F(x) - G(x)$ ，则：

由于 $H(x)$ 的导数恒为零，则 $H(x)$ 恒等于一个常数，即：一个函数的任意两个原函数之间只相差一个常数

例4：已知函数：
则 $f(x)$ 的一个原函数是_____.
- （A）
- （B）
- （C）
- （D）
Answer
话不多说，直接开导：
显然可见，根据求导的结果可知，只有A、D满足要求，接下来判断它们的连续性：
所以最终仅有D满足要求，则选D

II. 不定积分的性质

以下均假定函数 $f(x)$ （或 $f'(x)$ ）、 $g(x)$ 在所讨论的区间上连续：

例5：如果 $f(x)$ 的一个原函数是 $x \ln x - x$ ，则 $\int f'(x) \mathrm{d}x$ 为_____.
- （A） $x \ln x + C$
- （B） $\ln x + C$
- （C） $x \ln x + x + C$
- （D） $-x \ln x + C$
Answer

III. 基本积分表

$\int k \mathrm{d}x = kx + C$ （ $k$ 为常数）	$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \ln \mathrm{abs}(x) + C$
$\int x^{\eta} \mathrm{d}x = \dfrac{x^{\eta + 1}}{\eta + 1} + C$ （ $\eta \neq -1$ ）	$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$
$\int \sin x \mathrm{d}x = -\cos x + C$	$\int \sec^2 x \mathrm{d}x = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \mathrm{d}x = -\cot x + C$	$\int \sec x \tan x \mathrm{d}x = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \mathrm{d}x = -\csc x + C$	$\int a^x \mathrm{d}x = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ （ $a \gt 0$ 且 $a \neq 1$ ）
$\int e^x \mathrm{d}x = e^x + C$	$\int \tan x \mathrm{d}x = -\ln \mathrm{abs}(\cos x) + C$
$\int \cot x \mathrm{d}x = \ln \mathrm{abs}(\sin x) + C$	$\int \sec x \mathrm{d}x = \ln \mathrm{abs}(\sec x + \tan x) + C$
$\int \csc x \mathrm{d}x = \ln \mathrm{abs}(\csc x - \cot x) + C$	$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a} + C$
$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} = \arctan x + C$	$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a} \ln \mathrm{abs}(\dfrac{x - a}{x + a}) + C$ （ $a \gt 0$ ）
$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \dfrac{x}{a} + C$ （ $a \gt 0$ ）	$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C$
$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$ （ $a \gt 0$ ）	$\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln \mathrm{abs}(x + \sqrt{x^2 - a^2}) + C$ （ $a \gt 0$ ）

例6：求下列不定积分：
1. $\int \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt[4]{x}} \mathrm{d}x$
  Answer
2. $\int \dfrac{2x^4 + x^2 + 3}{x^2 + 1} \mathrm{d}x$
  Answer
  使用多项式除法：
  则可解得：
3. $\int \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} \mathrm{d}x$
  Answer
4. $\int \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} \mathrm{d}x$
  Answer

第一节 不定积分的概念与性质 ​

I. 原函数与不定积分 ​

1.1 原函数的概念 ​

1.2 不定积分的概念 ​

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III. 基本积分表 ​