第四节 高阶线性微分方程 ​

I. 线性微分方程解的性质和结构 ​

1.1 解的性质与结构 ​

1. 二阶齐次线性微分方程：

   形式：$\displaystyle y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$

   解的性质：若$y_1$、$y_2$为方程的两个解，则$C_1 y_1 + C_2 y_2$也是此方程的一个解

   通解的结构：若$y_1$、$y_2$为方程的两个线性无关^[1]的解，则$C_1 y_1 + C_2 y_2$是此方程的通解

2. 二阶非齐次线性微分方程：

   形式：$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$

   解的性质：

   • 若$y_1$、$y_2$为方程的两个解，则$y_1 - y_2$是其所对应的齐次微分方程的一个解
   • 若$\eta$为方程的一个解、而$\xi$是其所对应的齐次微分方程的一个解，则$\eta + \xi$也是此方程的一个解

   通解的结构：若$y^*(x)$是$y'' + P(x) y' + Q(x) y = f(x)$的一个特解、$Y(x)$是$y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$的通解，则$y'' + P(x) y' + Q(x) y = f(x)$的通解为：

1.2 解的叠加性原理 ​

• 若：

  1. $y_1(x)$是$y'' + P(x) y' + Q(x) y = f_1(x)$的一个解
  2. $y_2(x)$是$y'' + P(x) y' + Q(x) y = f_2(x)$的一个解
  3. …………
  4. $y_n(x)$是$y'' + P(x) y' + Q(x) y = f_n(x)$的一个解

• 则：

  是方程：

  的一个解

• 例1：设$y_1(x)$、$y_2(x)$、$y_3(x)$是方程$y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$的三个线性无关的解，若$C_1$、$C_2$是任意常数，则该方程的通解是_____.

  • A：$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + y_3(x)$
  • B：$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) - (C_1 + C_2) y_3(x)$
  • C：$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) - (1 - C_1 - C_2) y_3(x)$
  • D：$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + (1 - C_1 - C_2) y_3(x)$
  Answer

  根据解的叠加性原理，对于选项A，其作为通解所对应的方程是：

  对于选项B，其作为通解所对应的方程是：

  对于选项C，其作为通解所对应的方程是：

  对于选项D，其作为通解所对应的方程是：

  故选D

II. 高阶常系数齐次线性微分方程的通解 ​

2.1 二阶常系数齐次线性微分方程 ​

其形式为：

其通解的求法为：

1. 写出特征方程：$\lambda^2 + p \lambda + q = 0$

2. 求出特征方程的两个根$\lambda_1$和$\lambda_2$

3. 根据两个根的不同形式，依照下表得出通解：

   根的形式	通解
   两个不相等的实根$\lambda_1 \neq \lambda_2$	$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
   两个相等的实根$\lambda_1 = \lambda_2 = r$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$
   一对共轭复根$\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$	$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

• 例2：求解下列微分方程：

  1. $\displaystyle y'' - y' - 6y = 0$

     Answer

  2. $\displaystyle y'' - 2y' + y = 0$

     Answer

  3. $\displaystyle y'' - 4y' + 5y = 0$

     Answer

  4. $\displaystyle y'' + 2y = 0$

     Answer

2.2 $n$阶常系数齐次线性微分方程 ​

其形式为：

其特征方程为：

根据根的不同情况得到对应的通解：

1. 对于其中每一个不重复的实根$\lambda$，在通解中所对应的项为：

2. 对于其中每一组$k$个重复的实根$\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_k = r$，在通解中所对应的项为：

3. 对于其中每一对不重复的复根$\lambda_{1, 2} = \alpha \pm \beta i$，在通解中所对应的项为：

4. 对于其中每一组$k$对重复的复根$\lambda_{1,2} = \lambda_{3,4} = ... = \lambda_{2k - 1, 2k} = \alpha \pm \beta i$，在通解中所对应的项为：

• 例3：求解微分方程$\displaystyle y^{(4)} - 2y''' + 5y'' = 0$.

  Answer

• 例4：在下列微分方程中，以$y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$为通解的是：

  • A：$y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$
  • B：$y''' + y'' + 4y' + 4y = 0$
  • C：$y''' - y'' - 4y' + 4y = 0$
  • D：$y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$
  Answer

III. 二阶常系数非齐次线性微分方程 ​

其形式为：

写出它的特征方程：

求出方程的两个根$\lambda_1, \lambda_2$，然后根据$f(x)$不同形式得到特解：

1. $\displaystyle f(x) = e^{\lambda x} P_n(x)$，$P_n(x)$为关于$x$的$n$次多项式

   对于特征方程$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$

   • 若$\lambda$不是特征方程的根：

   • 若$\lambda$是特征方程的单根：

   • 若$\lambda$是特征方程的二重根：

   Tip

   其中$R_n(x)$是一个与$P_n(x)$同阶的待定系数多项式，设其为：

2. $\displaystyle f(x) = e^{\alpha x} \left[ P_l(x) \cos \beta x + Q_n(x) \sin \beta x \right]$，$P_l(x)$和$Q_n(x)$分别是关于$x$的$l$次和$n$次多项式

   • 若$\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$是特征方程的根：

   • 若$\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$不是特征方程的根：

   Tip

   其中$m = \max \{ l, n \}$，$R_m^{(1)}(x)$和$R_m^{(2)}(x)$是关于$x$的$m$次多项式，分别设其为：

   以及：

最后再将此特解与对应的齐次微分方程$y'' + py' + qy = 0$的通解相加即可得到通解

• 例5：求下列微分方程的特解：

  1. $\displaystyle y'' - 2y' - 3y = 3x + 1$

     Answer

     首先根据$f(x)$的形式以及特征方程的根求出特解的形式：

     然后将$y^* = A_0 + A_1 x$代入原微分方程：

     可知：

     于是：

     所以最终可得特解为：

  2. $\displaystyle y'' - y' = 2e^x$

     Answer

     首先根据$f(x)$的形式以及特征方程的根求出特解的形式：

     然后将$y^* = A_0 x e^x$代入原微分方程以求得特解：

  3. $\displaystyle y'' - 4y' + 3y = xe^x$

     Answer

     首先根据$f(x)$的形式以及特征方程的根求出特解的形式：

     然后将$y^* = A_0 x e^x + A_1 x^2 e^x$代入原微分方程：

     可知：

     于是：

     所以最终可得特解为：

  4. $\displaystyle y'' - y = e^x \cos 2x$

     Answer

     首先根据$f(x)$的形式以及特征方程的根求出特解的形式：

     然后将$y^* = e^x \left[ A \cos 2x + B \sin 2x \right]$代入原微分方程：

     可知：

     于是：

     所以最终可得特解为：

• 例6：求微分方程$y'' + y = x^2 + 1 + \sin x$的通解

  Answer

  初步来看，这个微分方程的$f(x)$部分不好处理，所以我们可以将其拆成两个函数的和再分别求出特解，于是两个特解相加便可得到原微分方程的特解，最后再求出齐次形式下的通解，便可得到最终结果

  首先写出其特征方程并求根：

  • 当$f(x) = x^2 + 1$时的特解：

    根据$f(x)$的形式，设特解为：

    代入可得：

    解得：

    于是可以得到特解为：

  • 当$f(x) = \sin x$时的特解：

    根据$f(x)$的形式，设特解为：

    代入可得：

    解得：

    于是可以得到特解为：

  • 当$f(x) = 0$时的通解：

    根据特征方程的根，可以得到通解为：

  所以将三个解相加，即可得到原方程的通解：

• 例6：求解二阶微分方程$y'' + 2y = \sin 3x$当满足初始条件$y(0) = 1$、$y'(0) = -1$时的解

  Answer

  首先写出特征方程并求出其根：

  于是设其特解为：

  代入原方程可得：

  解得：

  于是可求得特解为：

  然后再根据根的形式得到齐次的通解：

  将两个解相加即可得到原微分方程的通解：

  再将两个初始条件代入可得到方程组：

  解得：

  所以最终可求得满足初始条件的解为：